Suites arithmétiques : révisions

Exercice 1

Données : $u_0 = 5$, $r = 3$

1. Formule : $u_n = u_0 + nr = 5 + 3n$

2. $u_7 = 5 + 3 \times 7 = 5 + 21 = 26$

Exercice 2

a) $2$, $4$, $6$, $8$
→ $r = 2$ → ✅ arithmétique

b) $7$, $10$, $14$, $18$
→ écarts : $+3$, $+4$, $+4$ → ❌ pas régulière → ❌

c) $1$, $4$, $9$, $16$
→ carrés parfaits → ❌ pas arithmétique

Conclusion : seule la suite a) est arithmétique.

Exercice 3

Données : $u_0 = 100$, $r = -5$, $n = 20$

$u_{19} = 100 + 19 \times (-5) = 100 - 95 = 5$
$S_{20} = \dfrac{20 \times (100 + 5)}{2} = \dfrac{20 \times 105}{2} = 1050$

➡️ La suite est décroissante, car $r<0$.

Exercice 4

$u_1 = 12$, $u_4 = 30$

Formule : $u_n = u_1 + (n - 1)r$

$u_4 = 12 + 3r = 30$
$\Rightarrow 3r = 18 \Rightarrow r = 6$

Formule : $u_n = 12 + (n - 1) \times 6 = 6n + 6$

$u_2 = 6 \times 2 + 6 = 18$
$u_3 = 6 \times 3 + 6 = 24$

Exercice 5

1. Prix de la $n$-ième heure : $P_n = 100 + (n - 1) \times 15 = 15n + 85$

2. Pour 5 heures :

$P_1 = 100$, $P_2 = 115$, $P_3 = 130$, $P_4 = 145$, $P_5 = 160$
$S = 100 + 115 + 130 + 145 + 160 = 650$

Ou en utilisant la formule :
$S_5 = \dfrac{5 \times (100 + 160)}{2} = \dfrac{5 \times 260}{2} = 650$

Exercice 3 6

$x = 10$, $y = 16$, $z = 22$

Vérifions : $(x + z)/2 = (10 + 22)/2 = 32/2 = 16 = y$

✅ Oui, ce sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Exercice 7

$u_5 = u_1 + (5 - 1)r$, donc $u_1 = u_5 - 4r = 7 - 4 \times 2 = 7 - 8 = -1$
Donc : $u_1 = -1$

$u_{25} = u_5 + (25 - 5)r = 7 + 20 \times 2 = 7 + 40 = 47$
Donc : $u_{25} = 47$

$u_{100} = u_5 + (100 - 5)r = 7 + 95 \times 2 = 7 + 190 = 197$
Donc : $u_{100} = 197$

Exercice 8

$u_8 = u_3 + (8 - 3)r = u_3 + 5r$, donc : $0 = 12 + 5r$
soit : $r = -\frac{12}{5}$
$u_3 = u_0 + 3r$, donc $u_0 = u_3 - 3r = 12 - 3 \times -\frac{12}{5} = \frac{60}{5} + \frac{36}{5} = \frac{96}{5}$
Donc : $u_0 = \frac{96}{5}$

$u_{18} = u_0 + 18r = \frac{96}{5} + 18 \times \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{96}{5} - \frac{216}{5} = -\frac{120}{5} = -24$
Donc : $u_{18} = -24$

Exercice 9

$u_7 = u_0 + 7r$, donc $r = \dfrac{u_7 - u_0}{7}$
De plus, $u_{13} = u_0 + 13r$, donc $u_{13} = u_0 + 13 \times \frac{u_7 - u_0}{7}$, donc :
$7u_{13} = 7u_0 + 13(u_7 - u_0)$
$7u_{13} = 7u_0 + 13u_7 - 13u_0$
$7u_{13} = -6u_0 + 13u_7$
$u_0 = \frac{7u_{13} - 13u_7}{-6} = \frac{7 \times \frac{13}{2} - 13 \times \frac{7}{2}}{-6}$
Donc : $u_0 = 0$

Exercice 10

$S_n = u_3 + \dots + u_n = (n-2) \left[u_3 + \dfrac{(n-3)r}{2} \right]$,

$u_3 = 2 + 3 \times 5 = 17$
On cherche donc $n$ tel que : $(n-2) \left(17 + \dfrac{5(n-3)}{2} \right) = 6456$
soit encore : $(n - 2)(5n + 19) = 12,912$.
Il faut donc trouver les racines du polynôme $5n^2 + 9n - 12,950 = 0$ :
$n_1 = \dfrac{-9 - 509}{10} = 51,8$ (non entier) et $n_2 = \dfrac{-9+509}{10} = 50$
Donc, $n = 50$.

Exercice 11

La suite des impairs peut être notée : $u_n = 2n + 1$, pour tout entier $n$.
On cherche l'entier $p$ tel que : $u_p + u_{p+1} + \dots + u_{p+6} = 343$.
Or, $u_p + u_{p+1} + \dots + u_{p+6} = (2p + 1) + (2p + 3) + \dots + (2p + 13) = 7 \times 2p + (1 + 3 + 5 + \dots + 13)$.
Or, $1 + 3 + 5 + \dots + 13 = 7\left(1 + \dfrac{6 \times 2}{2}\right) = 49$, somme des 7 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
Ainsi : $14p + 49 = 343$, soit $p = 21$; puis $u_p = 43$.
Les sept nombres recherchés sont : 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55.

Exercice 12

Soit $(u_n)$ une telle suite de premier terme $u_0$ et de raison $r$.
Il existe $k$ tel que :

$u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + u_{k+3} = 12$ et $u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = 116$

Or : $]u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + u_{k+3} = 4u_k + 6r$et $u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = u_k^2 + (u_k+r)^2 + (u_k+2r)^2 + (u_k+3r)^2$

$u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = 4u_k^2 + 12u_kr + 14r^2 \\u_k^2 + u_{k+1}^2 + u {k+2}^2 + u{k+3}^2 = (2u_k+3r)^2 + 5r^2$

Or $4u_k+ 6r = 12$ donc $2u_k + 3r = 6$

Ainsi : $6² + 5r² = 116$

Soit : $r = \pm 4$

Puis $2u_k+ 3r = 6$ donc $u_k = -3$ ou $u_k = 9$

Ainsi : $-3 , 1 , 5 , 9$conviennent ainsi que : $9 , 5 , 1 , -3$.