Primitives (3)

Exercice 1

1. g est dérivable sur ]0; +$\infty$[ et :

$g'(x) = \sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x + x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$

2. En remarquant, à l'aide de la question précédente que :

$f(x) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{2} \sqrt{x} = \dfrac{2}{3} g'(x)$,

une primitive de $f$ sur ]0; +$\infty$[ est : $x \mapsto \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$

Exercice 2

1. Etude des variations de $F$ sur ]-3; +$\infty$[ :

Pour tout x de ]-3; +$\infty$[, $F'(x) = f(x)$

Pour étudier les variations de $F$, étudions le signe de $f$ :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & -3 & & 0 & & +\infty\\\hline x & & - & 0 & + &\\\hline x + 3& 0 & + & & + & \\\hline\dfrac{x}{x + 3} & || & - & 0& + &\\\hline\end{array}$

Donc : $f'(x) < 0$ pour $x \in ]-3; 0[$; $f'(x) = 0$ pour $x = 0$;

$f'(x) > 0$ pour $x \in ]0; +\infty$[

D'où : $F$ est décroissante sur ]-3; 0] et croissante sur [0; +$\infty$[

2. D'après les variations de $F$, $F$ admet un minimum en $0$.

De plus, $F(0) = 0$ (puisque $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $0$).

D'où : pour tout x $\in$ [-3; +$\infty$[, $F(x) \ge 0$.

3. a) Pour tout $x$ appartenant à ]-3; +$\infty$[,

$g'(x) = \text{F}'(x) - 1$

$\phantom{g'(x)}= f(x) - 1$

$\phantom{g'(x)}= \dfrac{x}{x + 3} - 1$

$\phantom{g'(x)}= \dfrac{x - x - 3}{x + 3}$

$\phantom{g'(x)}= -\dfrac{3}{x + 3}$

Pour tout $x$ appartenant à ]-3; +$\infty$[, $-\dfrac{3}{x + 3}$ < 0

Donc : pour tout $x$ appartenant à ]-3; +$\infty$[, $g'(x)$ < 0

D'où : g est décroissante sur ]-3; +$\infty$[.

3. b) D'après les variations de $g$, $g$ est décroissante sur [0; +$\infty$[ et admet donc un maximum en $0$.

De plus, $g(0) = F(0) - 0 = 0$. Donc : pour tout $x > 0, g(x) < 0$ c'est-à-dire : pour tout $x > 0, F(x) - x < 0$

D'où : pour tout $x > 0, F(x) < x$.