Primitives (2)

Exercice 1

La fonction f peut s'écrire : $f : x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^2}$

Deux primitives de la fonction $f$ sont par exemple : $x \mapsto \dfrac{3}{2}x^2 + 2x - \dfrac{1}{x}$ et $x \mapsto \dfrac{3}{2}x^2 + 2x - \dfrac{1}{x} - 3$

Exercice 2

Soit $f : x \mapsto 5 (4x - 1)^6$

On utilise la formule suivante $\left(u^n\right)' = nu'u^{n-1}$ avec $u(x) = 4x - 1$ et $n = 7$.

Deux primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont donc : $x \mapsto \dfrac{5}{28}(4x - 1)^7$ et $x \mapsto \dfrac{5}{28}(4x - 1)^7 - 1,4$

Soit $g : x \mapsto \dfrac{7}{(3x + 2)^5}$

On utilise la formule suivante : $\left(\dfrac{1}{u^n}\right)' =\dfrac{nu'}{u^{n+1}}$ avec $u(x) = 3x + 2$ et $n = 4$. Deux primitives de $g$ sur ]1; +$\infty$[ sont donc : $x \mapsto -\dfrac{7}{12(3x + 2)^4}$ et $x \mapsto -\dfrac{7}{12(3x + 2)^4} - 7$

Exercice 3

Déterminons une primitive sur ]-1; +$\infty$[ de $f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3x + 5}}$

On utilise la formule $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x) = 3x + 5$

Une primitive sur ]-1; +$\infty$[ de $f$ est donc : $x \mapsto \dfrac{2}{3} \sqrt{3x + 5}$ avec $u(x) = x^2 + 2x - 8$

Déterminons une primitive sur ]2; +$\infty$[ de $g : x \mapsto \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 8}}$.

Une primitive sur ]2; +$\infty$[ de $g$ est donc : $x \mapsto \sqrt{x^2 + 2x - 8}$