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Primitives (1)

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Énoncé

Exercice 1 : Primitives de fonctions polynômes

1. Déterminer des primitives sur R\mathbb{R} des fonctions suivantes :

x↦xx \mapsto x

x↦x2x \mapsto x^2

x↦x3x \mapsto x^3

x↦−5x \mapsto -5

2. Déterminer des primitives sur R\mathbb{R} des fonctions :

x↦2xx \mapsto 2x

x↦−3x2x \mapsto -3x^2

x↦8x3x \mapsto 8x^3

3. Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction :x↦8x3−3x2+2x−5x \mapsto 8x^3 - 3x^2 + 2x - 5

Exercice 2 : Primitives immédiates

1. Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de chacune des fonctions suivantes :

f:x↦0f : x \mapsto 0

g:x↦2g : x \mapsto 2

h:x↦x5h : x \mapsto x^5

2. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+∞\infty[ de chacune des fonctions suivantes :

i:x↦1x2i : x \mapsto \dfrac{1}{x^2}

j:x↦1xj : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}

3. Déterminer deux primitives sur R\mathbb{R} de la fonction :

f:x↦2x3+3x−1f : x \mapsto 2x^3 + 3x - 1

Exercice 3 : Fonctions simples

Déterminer deux primitives sur ]0,+∞\infty[ de chacune des fonctions suivantes :

f:x↦3x2+13x2f : x \mapsto \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{3}x^2

g:x↦2x−x2g : x \mapsto \dfrac{2}{\sqrt{x}} - x\sqrt{2}

Révéler le corrigé

Exercice 1

1. Des primitives de x↦xx \mapsto x sont par exemple : x↦12x2+4x \mapsto \dfrac{1}{2} x^2 + 4 ou encore x↦12x2−4,5x \mapsto \dfrac{1}{2}x^2 - 4,5

d'une manière générale : x↦12x2+λx \mapsto \dfrac{1}{2}x^2 + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x↦x2x \mapsto x^2 sont par exemple : x↦13x3+89x \mapsto \dfrac{1}{3} x^3 + 89 ou encore x↦13x3−12,7x \mapsto \dfrac{1}{3}x^3 - 12,7 d'une manière générale : x↦13x3+λx \mapsto \dfrac{1}{3}x^3 + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x↦x3x \mapsto x^3 sont par exemple : x↦14x4+8,7x \mapsto \dfrac{1}{4} x^4 + 8,7 ou encore x↦14x4−121,7x \mapsto \dfrac{1}{4}x^4 - 121,7

d'une manière générale : x↦14x4+λx \mapsto \dfrac{1}{4}x^4 + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x↦−5x \mapsto -5 sont par exemple : x↦−5x+1,4x \mapsto -5x + 1,4 ou encore x↦−5x+17x \mapsto -5x + 17 d'une manière générale : x↦−5x+λx \mapsto -5x + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

2. Des primitives de x↦2xx \mapsto 2x sont de la forme x↦x2+λx \mapsto x^2 + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x↦−3x2x \mapsto -3x^2 sont de la forme x↦−x3+λx \mapsto -x^3 + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x↦8x3x \mapsto 8x^3 sont de la forme x↦2x4+λx \mapsto 2x^4 + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

3. A l'aide des questions précédentes, une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction x↦8x3−3x2+2x−5x \mapsto 8x^3 - 3x^2 + 2x - 5 est par exemple : x↦2x4−x3+x2−5xx \mapsto 2x^4 - x^3 + x^2 - 5x

Exercice 2

1. Une primitive sur R\mathbb{R} de f:x↦0f : x \mapsto 0 est F:x↦4F : x \mapsto 4

D'une manière générale, les primitives de ff sont x↦λx \mapsto \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

Une primitive de g:x↦2g : x \mapsto 2 est G:x↦2xG : x \mapsto 2x

Une primitive de h:x↦x5h : x \mapsto x^5 est H:x↦16x6H : x \mapsto \dfrac{1}{6}x^6

2. Les primitives de i:x↦1x2i : x \mapsto \dfrac{1}{x^2} sont I:x↦−1x+λI : x \mapsto -\dfrac{1}{x} + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

Les primitives de j:x↦1x j : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} sont J:x↦2x+λJ : x \mapsto 2\sqrt{x} + \lambda où λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

3. Deux primitives sur R\mathbb{R} de la fonction ff sont : x↦12x4+32x2−x+4x \mapsto \dfrac{1}{2} x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + 4 et x↦12x4+32x2−x+18x \mapsto \dfrac{1}{2} x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + 18

Exercice 3

Deux primitives de ff sont par exemple : x↦−3x+19x3x \mapsto -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{9}x^3 et x↦−3x+19x3−12x \mapsto -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{9}x^3 - 12

Deux primitives de gg sont par exemple : x↦4x−22x2x \mapsto 4\sqrt{x} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2 et x↦4x−22x2−3,5x \mapsto 4\sqrt{x} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2 - 3,5

Exercice suivant
Primitives (2)