Parabole et sens de variation.

Exercice 1

Soit $C_f$ la parabole représentative de la fonction f

$A(1;2)\in C_f \Longleftrightarrow f(1)=2 \\ B(2; -3)\in C_f \Longleftrightarrow f(2)=-3 \\ C(3; -12)\in C_f \Longleftrightarrow f(3)=-12$

on en déduit le système d'équations à 3 inconnues, à résoudre :
$\left\lbrace\begin{matrix} a+b+c& = & 2\\ 4a+2b+c& = &-3 \\ 9a+3b+c& = &-12 \end{matrix}\right.$

après résolution (combinaison linéaire et substitution), on obtient a=-2, b=1 et c = 3,
d'où $f(x) = -2x^2+x+3$

Exercice 2

1 Tracé de la courbe

2 Tableau de variation
$\begin{array}{c|ccccc|} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline f(x)& & \nearrow & ^{\scriptsize 2} & \searrow & \end{array}$

3 On sait que $f(1)=2$ et que $(C)$ passe par $A(-1,0)$,et $B(3,0)$.

Si $f(x)=ax^2+bx+c$ :

$f(-1)=0\iff a-b+c=0$

$f(1)=2\iff a+b+c=2$

$f(3)=0\iff 9a+3b+c=0$

On obtient le système :

$\left\lbrace\begin{matrix}a+c&=&1\\a+b+c&=&2\\ 9a+3b+c&=&0\end{matrix}\right.$

Des deux premières lignes, on déduit que $b=1$, que l'on peut remplacer dans le système.

$\left\lbrace\begin{matrix}a+c&=&1\\b&=&1\\ 9a+c&=&-3\end{matrix}\right.$

En soustrayant la ligne (1) de la ligne (3), on obtient $8a=-4$ soit $a=-\dfrac 12$ et on en déduit $c=\dfrac 32$.

On obtient : $\boxed{ f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}}$

4

$\checkmark$ Nous traçons la droite d'équation $y=\dfrac{3}{2}$ et nous lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe soit $x_1=0 \quad x_2=2$
L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=\dfrac{3}{2}$ est $\mathcal{S}=\lbrace 0~;~2\rbrace$

$\checkmark$ Les solutions de l'inéquation $f(x)\ge 0$ sont les abscisses des points pour lesquelles la courbe P est située au dessus de l'axe des abscisses ou le coupe.
Les points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses sont A et B. La courbe est située au-dessus de l'axe entre ces deux points. $\mathcal{S}=[-1~;~3]$