Les fonctions polynômes de degré 2

I. Définition

Une fonction polynôme de degré 2, appelée aussi trinôme, est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = ax^2 + bx + c.$
Les nombres $a$, $b$ et $c$ sont appelés coefficients du trinôme et sont des réels, avec $a \neq 0$ (sinon, la fonction serait affine ou linéaire).

Exemples :

$\circ\quad f(x) = 2x^2 + 4x + 2$ est une fonction polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = 4$ et $c = 2$.

$\circ\quad g(x) = 2x + 5$ n’est pas une fonction polynôme de degré 2 mais de degré 1, car ici $a = 0$.

II. La fonction carré

Définition :
On nomme fonction carré la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto x^2$.

Tableau de valeurs :

Remarque :
La fonction carrée n'est pas linéaire.
Cette fonction est paire : pour tout $x$, $f(x) = f(-x)$.

Définition :
La représentation graphique de la fonction carré se nomme parabole.

Remarque :
L'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction carrée.

Sens de variation :

III. Autres représentations graphiques de fonctions polynômes de degré 2

1. $x ↦ ax^2$

L'axe des ordonnées est axe de symétrie des courbes.

2. $x ↦ ax^2 + b$

L'axe des ordonnées est axe de symétrie des courbes.

3. $x ↦ a(x - x_1)(x - x_2)$

La droite passant par le milieu de $[x_1\,;x_2]$ et parallèle à l'axe des ordonnées est axe de symétrie des courbes. Cette droite passe par le sommet de la parabole.

Rappel : Pour trouver le milieu de $[x_1\,;x_2]$, il suffit de calculer $\dfrac{x_1+x_2}{2}$.

Lorsqu'on connaît l'abscisse du sommet, il est facile d'en trouver son ordonnée.

Ici, l'ordonnée du sommet est $f(1)$ si on appelle $f(x)=-\dfrac14(x+2)(x-4)$.

$f(1)=-\dfrac 14 (1+2)(1-4)=\dfrac 94$.

Le sommet de la parabole a pour sommet le point de coordonnées $\left(1\,;\,\dfrac 94\right)$.