Des activités géométriques

Exercice 1

1. Figure :
   

👉 Conseil : fais toujours un schéma propre et lisible, il t’aidera à voir les triangles rectangles et les parallèles.

2. Calcul de $CH$

Le triangle $AHC$ est rectangle en $H$ (par hypothèse $(AB)\perp(CH)$). On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

$AC^2=AH^2+CH^2$
$CH^2=AC^2-AH^2$
$CH^2=6^2-3^2$
$CH^2=36-9$
$CH^2=27$
$CH=\sqrt{27}$
$CH=\sqrt{9\times3}$
$CH=3\sqrt{3}$
$CH\approx5{,}20~\text{cm}$

$\cos(\widehat{\text{CAH}})=\dfrac{\text{côté~adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{AC}}$
$\cos(\widehat{\text{CAH}})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
$\widehat{\text{CAH}}=60^\circ$

👉 Conseil : commence toujours par identifier l’angle droit avant d’appliquer Pythagore ou le cosinus.

3. Calcul de $AM$

Les triangles $AMH$et $ABC$ forment une figure de Thalès. Par hypothèse $(MH)//(BC)$ donc on peut appliquer le théorème de Thalès :

$\dfrac{\text{AM}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}}$

Ce qui nous donne :
$\text{AM}=\dfrac{\text{AH}\times\text{AC}}{\text{AB}}$
$\text{AM}=\dfrac{3\times6}{10}$
$\text{AM}\approx1{,}8~\text{cm}$

👉 Conseil : vérifie toujours que les droites sont bien parallèles avant d’utiliser Thalès.

Exercice 2

Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle donc $(AB)\perp(BC)$. Donc le triangle $ABM$ est rectangle en $B$. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

$AM^2=AB^2+BM^2$

$AB=3~\text{cm}$
$BM=0{,}5\times8=4~\text{cm}$ (car $M$est le milieu de $[BC])$

$AM^2=3^2+4^2$
$AM^2=9+16$
$AM^2=25$
$AM=5$ (car les longueurs sont toujours positives)

De même, $MNB$ est un triangle rectangle en $B$ :

$MN^2=BM^2+BN^2$

$BM=4~\text{cm}$
$BN=0{,}5\times6=3~\text{cm}$ (car N est le milieu de $[BF]$)

$MN^2=4^2+3^2$
$MN^2=16+9$
$MN^2=25$
$MN=5$

Le triangle $AMN$est donc isocèle en $M$ puisque $AM=MN$.

👉 Conseil : pense à utiliser les milieux pour calculer rapidement des longueurs.

Volume Restant = Volume Parallélépipède - Volume Pyramide

Volume Parallélépipède :
$(L\times l\times h)=\text{AD}\times\text{AB}\times\text{AE}=8\times3\times6=144~\text{cm}^3$

Volume Pyramide :
$\dfrac{1}{3}\text{Base}\times\text{h}$

Base = aire du triangle MNB :
$\dfrac{1}{2}\text{BM}\times\text{BN}$

$\text{h}=\text{AB}$

Volume Pyramide :
$\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times\text{BM}\times\text{BN}\times\text{AB}=\dfrac{1}{6}\times4\times3\times3=6~\text{cm}^3$

Volume Restant :
$144-6$

Volume Restant = $138~\text{cm}^3$

👉 Conseil : écris toujours les formules avant de remplacer par les valeurs numériques.

Exercice 3

$H$ est le milieu de $[BC]$ donc $[AH]$ est une médiane du triangle $ABC$. Comme dans un triangle équilatéral hauteur et médiane sont confondues, $[AH]$ est aussi une hauteur. Donc $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. Le triangle $ABH$ est donc rectangle en $H.$ On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

$AB^2=AH^2+BH^2$
$AH^2=AB^2-BH^2$
$AH^2=4^2-2^2$
$AH^2=16-4$
$AH^2=12$
$AH=\sqrt{12}$
$AH=\sqrt{4\times3}$
$AH=2\sqrt{3}$

👉 Conseil : dans un triangle équilatéral, la hauteur coupe toujours le côté opposé en son milieu.

Par hypothèse, les triangles $SAB$ et $SAC$ sont rectangles en $A$, donc $(SA)\perp(AB)$ et $(SA)\perp(AC)$. Or si une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes, alors elle est perpendiculaire au plan qu'elles forment. $(SA)$ est donc perpendiculaire au plan $(ABC)$. Or si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est perpendiculaire à toute droite de ce plan. $(AH)$ appartient à $(ABC)$ donc $(SA)\perp(AH)$.

Donc le triangle $SAH$ est rectangle en $A$. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

$SH^2=SA^2+AH^2$
$SH^2=5^2+(2\sqrt{3})^2$
$SH^2=25+4\times3$
$SH^2=37$
$SH=\sqrt{37}$

👉 Conseil : fais attention à la notion de droite perpendiculaire à un plan, elle revient souvent en géométrie de l’espace.

Volume de la pyramide :
$V=\dfrac{1}{3}\text{Base}\times\text{Hauteur}$

$V=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\times BC\times AH\right)\times SA$
$V=\dfrac{1}{6}\times BC\times AH\times SA$
$V=\dfrac{1}{6}\times4\times2\sqrt{3}\times5$
$V=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$

👉 Conseil : écris toujours le volume sous forme exacte avant toute approximation.