Orthogonalité et distance dans l'espace (1)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O\;;\;\vec i\;,\;\vec j\;,\;k)$

On considère :
$\bullet$ les points $A\,(-3\;;\;1\;;\;4)$ et $B\,(1\;;\;5\;;\;2)$ ;
$\bullet$ le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $4x+4y-2z+3=0$ ;
$\bullet$ la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x=-6+3t\\y=1_,\;t\in\R\\z=9-5t\end{cases}$

Affirmation 1 : Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes non perpendiculaires.
Réponse a.

$\bullet$ Montrons que les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes.

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}$.

$\begin{cases} A(-3;1;4)\\ B(1;5;2) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1+3\\5-1\\2-4\end{pmatrix}$

$\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}}$

La droite $(AB)$ passe par le point $A\,(-3\;;\;1\;;\;4)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est : $\begin{cases} x=-3+4k\\y=1+4k,\;k\in\R\\z=4-2k\end{cases}$
Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est : $\begin{cases} x=-6+3t\\y=1,\;t\in\R\\z=9-5t\end{cases}$

Résolvons le système : $\begin{cases} -3+4k=-6+3t\\1+4k=1\\4-2k=9-5t\end{cases}$

$\begin{cases} -3+4k=-6+3t\\1+4k=1\\4-2k=9-5t\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -3t+4k=-3\\4k=0\\5t-2k=5\end{cases}$

$\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -3t+4k=-3\\k=0\\5t-2k=5\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -3t=-3\\k=0\\5t=5\end{cases}$

$\Longleftrightarrow\quad \boxed{ \begin{cases} k=0\\t=1\end{cases} }$

Le système admet une solution unique et par suite, les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes.

$\bullet$ Montrons que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas perpendiculaires.

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$
Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\overrightarrow{d}\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=4\times3+4\times0-2\times(-5)=12+10=22$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}\neq 0}$

Nous en déduisons que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas perpendiculaires.

$\bullet$ Par conséquent, les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes non perpendiculaires.
L'affirmation a est donc exacte.

Affirmation 2 : La droite $(AB)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}.$
Réponse d.

Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $4x+4y-2z+3=0$
Dès lors, un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$
Or nous avons $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ (voir affirmation 1.)
D'où $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{n}$.
Par conséquent, la droite $(AB)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}.$
L'affirmation d est donc exacte.

Affirmation 3 : On considère le plan $\mathscr{P}'$ d'équation cartésienne $2x+y+6z+5=0.$
Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont perpendiculaires.
Réponse b.

Les vecteurs normaux aux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont respectivement $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}=4\times2+4\times1-2\times6=8+4-12=0$

$\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}=0}$

Il s'ensuit que les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n}'$ sont orthogonaux.
D'où les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont perpendiculaires.
L'affirmation b est donc exacte.

Affirmation 4 : On considère le point $C (0;1;-1).$ La valeur de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie au degré est $51^{\circ}$
Réponse b.

Nous savons que :
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\widehat{BAC})\quad\Longleftrightarrow \boxed{\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||}}$

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0+3\\1-1\\-1-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}$

De plus,
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times3+4\times0+(-2)\times(-5)=12+0+10=22$

$\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=22}$

$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{4^2+4^2+(-2)^2}$

$=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}\Longrightarrow\quad\boxed{||\overrightarrow{AB}||=6}$

$||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{3^2+0^2+(-5)^2}$

$=\sqrt{9+0+25}=\sqrt{34}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{34}}$

Nous en déduisons que :
$\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{22}{6\times \sqrt{34}}\Longrightarrow\quad\widehat{BAC}=\arccos\left(\dfrac{22}{6\times \sqrt{34}}\right)\Longrightarrow\quad \boxed{\widehat{BAC}\approx 51^{\circ} }$
L'affirmation b est donc exacte.