Énoncé

Exercice 1 (Composition translation + rotation)
Soit $A(1;0)$ . On applique successivement :

la translation $\vec{u}=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$
puis la rotation $R(O,\tfrac{\pi}{2})$ .
Déterminer $B$ image de $A$ .

Exercice 2 (Transformation à partir d’un système)
On considère :
$\begin{cases} x' = -y+2 \\ y' = x+3 \end{cases}$

Déterminer la nature de $T$ .
Donner la matrice associée et le vecteur constant.

Exercice 3 (Rotation hors origine + translation)
Transformation :

rotation de centre $C(1;1)$ et d’angle $\pi$ ,
suivie de la translation $\vec{u}=\begin{pmatrix}-2 \\ 3\end{pmatrix}$ .
Déterminer l’image de $A(3;2)$ .

Exercice 4 (Retrouver la transformation par images de points)
On sait que $M(1;0)\mapsto M'(2;1)$ et $N(0;1)\mapsto N'(-1;2)$ .

Déterminer la matrice de $T$ .
Est-ce que cette transformation est une rotation ? .

Exercice 1 :
Après translation : $A'(3;-1)$ .
Rotation : $\begin{pmatrix}x_B \\ y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$ .
Donc $B(1;3)$ .

Exercice 2 :
Forme matricielle : $\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}$ .
Donc $T$ = rotation $R(O,\tfrac{\pi}{2})$ suivie d’une translation $\vec{u}=(2;3)$ .

Exercice 3 :
$\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$ .
Rotation $\pi$ : $\overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix}$ .
$B=(-1;0)$ . Après translation : $B'=(-3;3)$ .

Exercice 4 :
$M(1;0)\mapsto(2;1)\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}a+u \\ c+v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$ .
$N(0;1)\mapsto(-1;2)\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}b+u \\ d+v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}$ .
Si $u=v=0$ , alors $a=2\,;c=1\,;b=-1\,;d=2$ .
$A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$ .

Ceci ne peut pas être la matrice d'une rotation.

Matrices et transformations géométriques du plan (3)

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