Les racines carrées et leurs propriétés (4)

Exercice 1

$C = 3\sqrt{2} ( \sqrt{3} + 1) - ( \sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 2)$ (Développement)
$C = 3\sqrt{2}\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - (2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 2)$ (Calcul de $3\sqrt{2}\sqrt{3}$ et retrait de la parenthèse)
$C = 3\sqrt{6} + 3\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 2$ (On remarque que $3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$)
$C = 3\sqrt{6} - 4$ (Mise en forme pour répondre à la question)
$C = -4 + 3\sqrt{6}$
Donc $a = -4$ et $b = 3$

Exercice 2

$x^2 = \dfrac{325}{1053}$

Remarque : $\dfrac{325}{1053}=\dfrac{25\times 13}{81\times 13}=\dfrac{25}{81}$

L'équation proposée peut donc s'écrire :
$x^2 - \dfrac{25}{81}= 0$
On reconnaît la différence de deux carrés que l'on factorise.

$\left(x-\dfrac{5}{9}\right)\left(x+\dfrac{5}{9}\right)= 0$

Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, ce qui donne :

$x = \dfrac {5}{9}$ ou $x = -\dfrac {5}{9}$

D'où l'ensemble solution peut s'écrire : $\mathcal{S} = \left\lbrace - \dfrac {5}{9} ; \dfrac {5}{9} \right\rbrace$

Exercice 3

$A = \left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 + 3$
$A = \dfrac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} + 3$ (Calcul du carré grâce à l'identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$)
$A = \dfrac{1}{4}(1 + 2\sqrt{5} + 5) + \dfrac{1}{4} \times 12$ (Recherche d'un dénominateur commun)
$A = \dfrac{1}{4}(1 + 2\sqrt{5} + 5 + 12)$
$A = \dfrac{1}{4}(18 + 2\sqrt{5})$
$A = \dfrac{18}{4} + \dfrac{2}{4}\sqrt{5}$ (Simplification)
$A = \dfrac{9}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{5}$ (Simplification)
D'où $a = \dfrac{9}{2}, b = \dfrac{1}{2}, c = 5$

$B = \dfrac{\sqrt{75}\sqrt{10}}{\sqrt{8}}$
750 = 25 × 30 (25 étant le plus grand carré divisant 750)
8 = 4 × 2 (4 étant le plus grand carré divisant 8)
$\sqrt{8} = \sqrt{4\times2} = \sqrt{4}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{75}\sqrt{10} = \sqrt{750} = \sqrt{25}\sqrt{30} = 5\sqrt{30} = 5\sqrt{15}\sqrt{2}$

D'où
$B = \dfrac{5\sqrt{15}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$B = \dfrac{5\sqrt{15}}{2}$
$B = \dfrac{5}{2}\sqrt{15}$
D'où $a = 0, b = \dfrac{5}{2}, c = 15$