Les racines carrées et leurs propriétés (2)

Exercice 1

49 est le carré de 7 ou de -7.
7 est le carré de $\sqrt{7}$ ou de -$\sqrt{7}$.
49 a pour carré 2401.
49 a pour racine carrée 7.
-$\sqrt{7}$ a pour le carré 7.
7 est la racine carrée de 49.

81 est le carré de 9 ou de -9.
81 a pour carré 6 561.
9 est le carré de 3 ou de -3.
-$\sqrt{3}$ a pour carré 3.
81 a pour racine carrée 9.
9 est la racine carrée de 81.

Exercice 2

$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{0} = 0$
$\sqrt{1} = 1$
$\sqrt{7^2} = 7$
$3\sqrt{81} = 3 \times 9 = 27$
$(\sqrt{5})^2 = 5$
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times 2 = 9 \times 2 = 18$
$(-\sqrt{3})^2 = 3$
$(-\sqrt{5})^4 = 5^2 = 25$
$\sqrt{(-2)^6} = \sqrt{2^6} = \sqrt{(2^3)^2} = 2^3 = 8$
Le nombre $a$ étant positif, $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = a^3$

Exercice 3

$(\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} + 3) = (\sqrt{7})^2 - 3^2$
$= 7 - 9 = -2$

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$
$= 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

$(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{2^2 \times 2} + \sqrt{2})^2$
$= (2\sqrt{2} + \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2$
$= 9 \times 2 = 18$

$(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \times 3\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2$
$= 9 \times 2 + 12\sqrt{6} + 4 \times 3 = 30 + 12\sqrt{6}$

Exercice 4

$\sqrt{9} + \sqrt{4} + \sqrt{25} = 3 + 2 + 5 = 10$

$\sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

$\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3} \times \sqrt{2^2 \times 3}$
$= \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 2 \times 3 = 6$

$\sqrt{2} \times \sqrt{0,02} = \sqrt{2 \times 0,02}$
$= \sqrt{0,04} = 0,2$

$\sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{7} \times 5\sqrt{7} = 2(\sqrt{3})^2 \times 10(\sqrt{7})^2$
$= 2 \times 3 \times 10 \times 7 = 420$

$\sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{3 \times 27}$
$= \sqrt{81} = 9$

$\sqrt{\dfrac{1}{7}} \times \sqrt{63} = \sqrt{\dfrac{9 \times 7}{7}}$
$= \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{7} \times \sqrt{2} \times \sqrt{21} \times \sqrt{36} = \sqrt{7} \times \sqrt{2} \times \sqrt{7} \times \sqrt{3} \times \sqrt{6^2}$
$= \sqrt{7^2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} \times 6 = 6 \times 7 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}$
$= 42 \sqrt{2 \times 3} = 42\sqrt{6}$

$\sqrt{6} \times \sqrt{14} \times \sqrt{18} \times \sqrt{7} = \sqrt{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} \times \sqrt{7} \times \sqrt{3^2 \times 2} \times \sqrt{7}$
$= (\sqrt{2})^2 \times \sqrt{3} \times (\sqrt{7})^2 \times 3\sqrt{2} = 2 \times \sqrt{3} \times 7 \times 3\sqrt{2}$
$= 42 \sqrt{6}$

Exercice 5

Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$5^2 + BC^2 = 7^2$
$25 + BC^2 = 49$
$BC^2 = 49 - 25$
$BC^2 = 24$
Donc : $BC = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ cm
D'où : $BC \approx 4,9$ cm