Fonction inverse et fonctions rationnelles

Exercice 1 — Étude d’une combinaison inverse–polynomiale

1) Ensemble de définition

La fonction contient le terme $\dfrac{2}{x}$, donc $x\neq0$.

Ainsi : $D_g=\mathbb R\setminus\{0\}$

👉 Petit conseil : la présence de $\dfrac{1}{x}$ exclut toujours $x=0$.

2) Calcul de la dérivée $g'(x)$

On dérive terme à terme :

La dérivée de $\dfrac{2}{x}$ est $-\dfrac{2}{x^2}$.
La dérivée de $x$ est $1$.

Donc : $g'(x)=1-\dfrac{2}{x^2}$

3) Résolution de l’équation $g'(x)=0$

On résout : $1-\dfrac{2}{x^2}=0$

On isole :
$1=\dfrac{2}{x^2}$

On inverse : $x^2=2$

Donc :
$x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$

👉 Petit conseil : sur $]0;+\infty[$, on ne garde que $x=\sqrt{2}$.

4) Signe de $g'(x)$ sur $]0;+\infty[$

On met la dérivée sous forme fractionnaire :
$g'(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2}$

Sur $]0;+\infty[$, on a toujours $x^2>0$, donc le signe de $g'(x)$ dépend uniquement de $x^2-2$.

• Si $0<x<\sqrt{2}$, alors $x^2-2<0$ donc $g'(x)<0$
• Si $x>\sqrt{2}$, alors $x^2-2>0$ donc $g'(x)>0$

5) Sens de variation de $g$ sur $]0;+\infty[$

On en déduit :

$g$ est décroissante sur $]0;\sqrt{2}[$
$g$ est croissante sur $]\sqrt{2};+\infty[$

La fonction admet donc un minimum en $x=\sqrt{2}$.

On peut calculer la valeur minimale :
$g(\sqrt{2})=\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}$

Or $\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, donc :
$g(\sqrt{2})=2\sqrt{2}$

👉 Petit conseil : pour les fonctions du type $\dfrac{a}{x}+x$, le minimum est souvent atteint pour $x=\sqrt{a}$.

Exercice 2 — Fonction rationnelle simple et asymptotes

$f(x)=\dfrac{5}{x}-2$ sur $\mathbb R\setminus{0}$.

1) Ensemble de définition

$\dfrac{5}{x}$ impose $x\neq0$.

Donc :
$D_f=\mathbb R\setminus\{0\}$

2) Asymptote verticale

Une asymptote verticale apparaît quand $x$ tend vers une valeur interdite qui rend la fonction infinie.
Ici, la valeur interdite est $0$, et $\dfrac{5}{x}$ devient très grand en valeur absolue quand $x\to0$.

Donc l’asymptote verticale est : $x=0$

3) Limites en $+\infty$ et en $-\infty$

Quand $x\to+\infty$, on a $\dfrac{5}{x}\to0$, donc :
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{5}{x}-2\right)=0-2=-2$

Quand $x\to-\infty$, on a aussi $\dfrac{5}{x}\to0$, donc :
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{5}{x}-2\right)=0-2=-2$

4) Asymptote horizontale

Comme la fonction tend vers $-2$ quand $x\to+\infty$ et $x\to-\infty$, l’asymptote horizontale est :
$y=-2$

👉 Petit conseil : une fonction du type $\dfrac{a}{x}+b$ a toujours une asymptote horizontale $y=b$.

Exercice 3 — Sens de variation d’une fonction rationnelle

$f(x)=\dfrac{3}{x}+1$ sur $\mathbb R\setminus\{0\}$.

1) Dérivée

La dérivée de $\dfrac{3}{x}$ est $-\dfrac{3}{x^2}$, et celle de $1$ est $0$.

Donc : $f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$

2) Signe sur $]0;+\infty[$

Si $x>0$, alors $x^2>0$, donc $\dfrac{3}{x^2}>0$, et : $-\dfrac{3}{x^2}<0$

Donc $f'(x)<0$ sur $]0;+\infty[$.

3) Signe sur $]-\infty;0[$

Si $x<0$, alors $x^2>0$ aussi, donc : $-\dfrac{3}{x^2}<0$

Donc $f'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$.

4) Sens de variation

Comme $f'(x)<0$ sur chacun des deux intervalles, $f$ est décroissante sur :
$]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

👉 Petit conseil : attention, on ne dit pas “décroissante sur $\mathbb R\setminus\{0\}$” d’un seul bloc, car il y a une coupure en $0$.

Exercice 4 — Étude complète sur un intervalle

$h(x)=\dfrac{10}{x}+x$ sur $]0;+\infty[$.

1) Dérivée

La dérivée de $\dfrac{10}{x}$ est $-\dfrac{10}{x^2}$.
La dérivée de $x$ est $1$.

Donc : $h'(x)=1-\dfrac{10}{x^2}$

2) Résoudre $h'(x)=0$

$1-\dfrac{10}{x^2}=0$

Donc : $1=\dfrac{10}{x^2}$

On inverse : $x^2=10$

Comme $x>0$ : $x=\sqrt{10}$

3) Signe de $h'(x)$

On met au même dénominateur :

$h'(x)=1-\dfrac{10}{x^2}=\dfrac{x^2-10}{x^2}$

Sur $]0;+\infty[$, $x^2>0$, donc le signe dépend de $x^2-10$.

Si $0<x<\sqrt{10}$, alors $x^2-10<0$ donc $h'(x)<0$.
Si $x>\sqrt{10}$, alors $x^2-10>0$ donc $h'(x)>0$.

4) Tableau de variations

On en déduit : $h$ est décroissante sur $]0;\sqrt{10}[$ puis croissante sur $]\sqrt{10};+\infty[$.

Le minimum est atteint pour $x=\sqrt{10}$ :
$h(\sqrt{10})=\dfrac{10}{\sqrt{10}}+\sqrt{10}$

Or $\dfrac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$, donc :
$h(\sqrt{10})=\sqrt{10}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$

👉 Petit conseil : ce type de fonction $\dfrac{k}{x}+x$ a souvent un minimum “symétrique” au point $x=\sqrt{k}$.

Exercice 5 — Situation concrète : optimisation d’un coût

$C(x)=\dfrac{200}{x}+5x$ pour $x>0$.

1) Domaine

On doit avoir $x\neq0$ à cause de $\dfrac{200}{x}$, et ici $x$ représente un nombre d’objets donc $x>0$.

Donc : $D_C=]0;+\infty[$

2) Dérivée $C'(x)$

La dérivée de $\dfrac{200}{x}$ est $-\dfrac{200}{x^2}$.
La dérivée de $5x$ est $5$.

Donc : $C'(x)=5-\dfrac{200}{x^2}$

3) Résoudre $C'(x)=0$

$5-\dfrac{200}{x^2}=0$

Donc : $5=\dfrac{200}{x^2}$

On multiplie par $x^2$ : $5x^2=200$

On divise par $5$ : $x^2=40$

Comme $x>0$ : $x=\sqrt{40}$

On peut simplifier :
$\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=2\sqrt{10}$

Donc $x=2\sqrt{10}\approx6,32$.

4) Signe de $C'(x)$

On met sous forme fractionnaire :
$C'(x)=5-\dfrac{200}{x^2}=\dfrac{5x^2-200}{x^2}$

Sur $]0;+\infty[$, $x^2>0$, donc le signe dépend de $5x^2-200$.

$5x^2-200=0$ pour $x^2=40$, donc pour $x=2\sqrt{10}$.

Si $0<x<2\sqrt{10}$, alors $x^2<40$ donc $5x^2-200<0$, donc $C'(x)<0$.
Si $x>2\sqrt{10}$, alors $x^2>40$ donc $5x^2-200>0$, donc $C'(x)>0$.

5) Nombre d’objets minimisant le coût

Comme $C'(x)$ est négative puis positive, $C$ décroît puis croît.
Donc $C$ admet un minimum en :
$x=2\sqrt{10}\approx6,32$

Dans un contexte de production, $x$ doit être un entier : on teste $x=6$ et $x=7$.

$C(6)=\dfrac{200}{6}+5\times6=\dfrac{100}{3}+30\approx33,33+30=63,33$
$C(7)=\dfrac{200}{7}+5\times7\approx28,57+35=63,57$

Le plus petit est $C(6)$.

Conclusion : le coût total est minimal pour environ $6$ objets.

👉 Petit conseil : quand la solution théorique n’est pas entière, teste les entiers juste en dessous et juste au-dessus.