Fonction inverse et fonctions rationnelles

I. Combinaisons linéaires de la fonction inverse et des fonctions polynomiales

On considère sur $\mathbb R\setminus \{0\}$ la fonction $g$ définie par :
$g(x) = a \cdot \dfrac{1}{x} + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ où $a$, $b$, $c$, et $d$ sont des constantes. La fonction $g(x)$ combine donc à la fois une fonction inverse et une fonction polynomiale.

Ce type de fonction peut être utile dans certains phénomènes physiques ou économiques.

II. Étude d'une fonction rationnelle simple

Les fonctions rationnelles sont des fonctions qui peuvent être écrites sous la forme $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, où $p(x)$ et $q(x)$ sont des polynômes. Un exemple classique est la fonction rationnelle de la forme :
$f(x) = \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des constantes.

Étudions la fonction $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$. Pour mieux comprendre son comportement, il est important de noter :

• La fonction est définie pour $x \neq 0$.

• La courbe a une asymptote verticale en $x = 0$ et une asymptote horizontale en $y = 3$.

III. Sens de variation de $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$

La dérivée de la fonction $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$ permet de déterminer son sens de variation. Calculons cette dérivée :

• La dérivée de $\dfrac{2}{x}$ est $-\dfrac{2}{x^2}$.

• La dérivée de $3$ est $0$.

Donc, la dérivée de $f(x)$ est :
$f'(x) = -\dfrac{2}{x^2}$

On en déduit que :

• Pour $x > 0$, $f'(x) < 0$, ce qui signifie que $f(x)$ est décroissante sur cet intervalle.

• Pour $x < 0$, $f'(x) < 0$, donc $f(x)$ est également décroissante sur cet intervalle.

Ainsi, la fonction $f(x)$ est décroissante sur tout son domaine, sauf en $x = 0$, où elle n'est pas définie.

IV. Exemple d'application 1 : Étude de $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$ sur un intervalle

Énoncé :
Étudier les variations de la fonction $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$ sur l'intervalle $[1, 10]$.

Correction :

• La fonction est définie sur $[1, 10]$ et la dérivée $f'(x) = -\dfrac{2}{x^2}$ est négative sur cet intervalle.

• Par conséquent, la fonction $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$ est décroissante sur cet intervalle.

V. Exemple d'application 2 : Comportement asymptotique de $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$

Énoncé :
Étudier le comportement de la fonction $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$ lorsque $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$.

Correction :

• Lorsque $x \to +\infty$, on a :
  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{2}{x} + 3 \right) = 0 + 3 = 3$

• Lorsque $x \to -\infty$, on a :
  $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left( \dfrac{2}{x} + 3 \right) = 0 + 3 = 3$

Cela montre que la fonction $f(x) = \dfrac{2}{x} + 3$ tend vers l'asymptote horizontale $y = 3$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.

VI. Situation concrète : Coût total et optimisation

Énoncé :
Le coût total de production $C(x)$ d’une entreprise en fonction du nombre d’articles $x$ produits est modélisé par la fonction suivante :
$C(x) = \dfrac{100}{x} + 2x$
Étudiez le comportement de cette fonction pour déterminer le nombre d’articles qui minimise le coût total.

Correction :

1. La fonction $C(x) = \dfrac{100}{x} + 2x$ combine une fonction inverse et une fonction linéaire.

2. Calculons la dérivée de $C(x)$ :
   $C'(x) = -\dfrac{100}{x^2} + 2$

3. Résolvons $C'(x) = 0$ pour trouver le minimum :
   $-\dfrac{100}{x^2} + 2 = 0$
   $\dfrac{100}{x^2} = 2$
   $x^2 = \dfrac{100}{2} = 50$
   $x = \sqrt{50} \approx 7.07$

4. Étudions le signe de cette dérivée :

   $C'(x)=-\dfrac{100}{x^2} + 2=\dfrac{-100+2x^2}{x^2}$

Le dénominateur est une quantité toujours strictement positive, donc $C'(x)$ a le même signe que $-100+2x^2$ .

Ceci est un polynôme du second degré qui serait susceptible de s'annuler en $-\sqrt{50}$ et $+\sqrt{50}$ , qui est du signe du coefficient de $x^2$ (soit positif) à l'extérieur des racines.

Sur $]0\,;\,\sqrt{50}[$, la dérivée est donc négative,

sur $]\sqrt{50}\,;\,+\infty[$, la dérivée est positive.

et la valeur correspondant à $\sqrt{50}$ est donc un minimum.

Ainsi, le nombre d'articles qui minimise le coût total est environ $x = 7.07$ soit en arrondissant $7$ articles..