Définition et ensemble de définition de la fonction inverse

I. Définition de la fonction inverse

La fonction inverse est une fonction $f$qui associe à chaque nombre réel $x$ (différent de zéro) son inverse , c’est-à-dire $\dfrac{1}{x}$.
On a donc $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Cette fonction existe pour tous les réels sauf $x = 0$ car la division par zéro est impossible. L'ensemble de définition de la fonction inverse est donc :
$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$

On peut donc écrire :

$\left\lbrace\begin{matrix} f & : & \mathbb R\setminus \{0 \} \to \quad & \mathbb R\\ & &x \quad\quad \mapsto & f(x)=\dfrac 1x \end{matrix}\right.$

Tableau de valeurs :

Courbe :

II. Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition

La fonction inverse présente un comportement particulier aux bornes de son ensemble de définition :

• Lorsque $x$ approche $0$ par les valeurs positives ($x \to 0^+$), la fonction $f(x)$ devient de plus en plus grande, tendant vers $+\infty$.

• Lorsque $x$ approche $0$ par les valeurs négatives ($x \to 0^-$), la fonction $f(x)$ devient de plus en plus petite, tendant vers $-\infty$.

• Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la fonction $f(x)$ tend vers $0$.

• Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, la fonction $f(x)$ tend aussi vers $0$.

Cela peut s'écrire :
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$

III. Exemple d'application 1 : Calcul de l'image et de l'antécédent d'un nombre donné

Énoncé :
Calculer l'image de $x = 2$ et l'antécédent de $y = 0.5$ pour la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Correction :

• L'image de $x = 2$ est donnée par :
  $f(2) = \dfrac{1}{2} = 0.5$

• Pour trouver l'antécédent de $y = 0.5$, on résout l'équation $f(x) = 0.5$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{x} = 0.5$.
  En multipliant des deux côtés par $x$, on obtient :
  $1 = 0.5x$
  Donc,
  $x = \dfrac{1}{0.5} = 2$

IV. Exemple d'application 2 : Comparaison d'ordre de grandeur des inverses

Énoncé :
Comparer les valeurs de $\dfrac{1}{x}$ pour les valeurs suivantes de $x$ : $x = 0.1$, $x = 10$, et $x = 1000$.

Solution :

• Pour $x = 0.1$, on a :
  $\dfrac{1}{0.1} = 10$

• Pour $x = 10$, on a :
  $\dfrac{1}{10} = 0.1$

• Pour $x = 1000$, on a :
  $\dfrac{1}{1000} = 0.001$

On observe que plus $x$ est petit, plus $\dfrac{1}{x}$ devient grand. Inversement, plus $x$ est grand, plus $\dfrac{1}{x}$ devient petit.

V. Situation concrète : Coût unitaire et son comportement

Énoncé :
Une entreprise produit des articles et son coût unitaire $C(x)$ en fonction du nombre $x$ d'articles produits est donné par :
$C(x) = \dfrac{500}{x}$
Interprétez le comportement de $C(x)$ lorsque le nombre d'articles $x$ varie.

Solution :
La fonction $C(x) = \dfrac{500}{x}$ modélise le coût unitaire en fonction du nombre d'articles produits.

• Lorsque $x$ augmente (plus d'articles sont produits), le coût unitaire diminue. Par exemple, pour $x = 10$, $C(10) = \dfrac{500}{10} = 50$.

• Si $x$ devient très grand (disons $x = 1000$), le coût unitaire devient très petit : $C(1000) = \dfrac{500}{1000} = 0.5$.

• Si $x$ est petit (par exemple, $x = 1$), le coût unitaire est très élevé : $C(1) = 500$.
  Ainsi, plus l'entreprise produit, plus le coût par article diminue, mais il ne peut jamais atteindre zéro. C'est un modèle où l'optimisation de la production est essentielle pour réduire les coûts unitaires.