Étude d'une fonction exponentielle (1) : limites, dérivée, asymptotes et tangentes

$\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to-\infty} e^x=0 \\ \lim\limits_{x\to-\infty} -x=+\infty \\ \lim\limits_{x\to-\infty} -1=-1 \\ \end{array} \right \rbrace$ par addition :
$\lim\limits_{x\to-\infty} (e^x)+(-x)+(-1)=+\infty$

Or $(e^x)+(-x)+(-1)=e^x-x-1=f(x)$
On déduit alors que $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=+\infty}$

2. a)
   $e^x\left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}\right) = e^x \times 1 - e^x \times \dfrac{x}{e^x} - e^x \times \dfrac{1}{e^x}$

   $\phantom{ e^x\left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}\right)}= e^x - \dfrac{e^x \times x}{e^x} - \dfrac{e^x}{e^x}$

   $\phantom{ e^x\left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}\right)}= e^x - x - 1$

Donc $\boxed{f(x) = e^x \left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}\right)}$

b) On a $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} 1 = 1} (1)$
$\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\\ \lim\limits_{X\to+\infty} - \frac{1}{X} = 0 \end{array} \right \rbrace$     par composée : $\lim\limits_{x\to+\infty} -\frac{1}{\frac{e^x}{x}}=0$
Or $-\frac{1}{\frac{e^x}{x}}=-\frac{x}{e^x}$
On déduit alors que $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} -\frac{x}{e^x} = 0} , (2)$

$\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty\\ \lim\limits_{X\to+\infty} -\frac{1}{X} = 0 \\ \end{array} \right \rbrace$     par composée : $\lim\limits_{x \to +\infty} -\frac{1}{e^x} = 0$
On déduit alors que $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} -\frac{1}{e^x}=0} , (3)$
Par addition de (1), (2) et (3), on deduit alors que : $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right) = 1}$
$\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right) = 1\\ \lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty \\ \end{array} \right \rbrace$     par produit : $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right) = +\infty$
Or $e^x \left(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}\right) = f(x)$
On déduit alors que $\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$

3. $f(x)=e^x-x-1$
   Nous avons $(U + V + G)' = (U)' + (V)' + (G)'$ donc :
   $f'(x) = (e^x)' + (-x)' + (-1)'$
   D'autre part $(e^x)' = e^x\, , \, (-x)' = -1$ et $(-1)' = 0$ donc : $f'(x) = e^x + (-1) + (0)$
   Soit $\boxed{f'(x) = e^x - 1}$
   $\begin{aligned} e^x - 1 > 0 &\;\;\Longleftrightarrow\;\; e^x > 1 \\ &\;\;\Longleftrightarrow\;\; e^x > e^0 \\ &\;\;\Longleftrightarrow\;\; x > 0 \quad \text{car exponentielle strictement croissante} \end{aligned}$

   
   On déduit alors que $e^x < 0 \Longleftrightarrow x < 0$ et de même $e^x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ soit :

$f'(x)>0 \Longleftrightarrow e^x>1 \Longleftrightarrow x>0$

Tableau de variations :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & ^{\scriptsize{ +\infty}} & \searrow & _{\scriptsize{0}} & \nearrow & ^{\scriptsize{ +\infty}} \\ \hline \end{array}$

4. a)
   $f(x)-y_D=(e^x-x-1)-(-x-1)=e^x$

Comme $\lim\limits_{x\to-\infty} e^x=0$, on a $\lim\limits_{x\to-\infty}|f(x)-y_D|=0$.
Donc $y=-x-1$ est asymptote à $C_f$ en $-\infty$.

b) Posons $\varphi(x)=f(x)-(-x-1)=e^x$.
Comme $e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb R$, la courbe $C_f$ est au-dessus de $D$.

5. Tangente en $x=-1$ :

$y=f'(-1)(x+1)+f(-1)$

$f'(-1)=e^{-1}-1$, $f(-1)=e^{-1}$

Donc $y=(e^{-1}-1)(x+1)+e^{-1}$
$y=(e^{-1}-1)x+2e^{-1}-1$

$\boxed{y=(e^{-1}-1)x+2e^{-1}-1}$

7. Aire entre $C_f$ et $D$ sur $[-1;0]$ :

On sait que la courbe est toujours au dessus de l'asymptote, donc :

$A=\displaystyle\int_{-1}^0 \big(f(x)-(-x-1)\big)\,\text{d}x = \displaystyle\int_{-1}^0 e^x\,\text{d}x$

$A=[e^x]_{-1}^0=e^0-e^{-1}=1-e^{-1}$

Donc $\boxed{A=1-e^{-1}\ \text{cm}^2}$