Étude d'une fonction exponentielle (2) : limites, dérivée, asymptotes

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3}{4}x+e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité graphique 4 cm). On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans ce repère.

1. (a)
$1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=0 \\ \Longleftrightarrow e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=1\\ \Longleftrightarrow e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=e^0 \\ \Longleftrightarrow -\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=0 \\ \Longleftrightarrow \frac{3}{4}x=\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow x=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$

L'équation admet une seule solution : $\dfrac{2}{3}$

1. (b)
$1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}\geq 0 \\ \Longleftrightarrow e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}\leq 1 \\ \Longleftrightarrow e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}\leq e^0 \\ \Longleftrightarrow -\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\leq 0$ car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

$-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\leq 0 \\ \Longleftrightarrow \frac{3}{4}x\geq \frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow x\geq \frac{4}{3}\times\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow x\geq \frac{2}{3}$

L'inéquation admet pour ensemble solution l'intervalle $\left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[$

2. La fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$

Soulignons la dérivabilité :

$x\longmapsto -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$ est affine donc dérivable sur $\mathbb{R}$ donc dérivable sur $[0;+\infty[$.
$x\longmapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc la composée $x\mapsto e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
Enfin, $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.

Dérivée :
Quelque soit $x\geq 0,f'(x)=\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{3}{4})\times e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=\dfrac{3}{4}(1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}})$ donc $f'(x)$ est du signe de $(1-e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}})$ car $\dfrac{3}{4}>0$.

D'après le 1. (b), on déduit que $f'(x)\geq 0$ pour $x\geq \dfrac{2}{3}$ et $f'(x)\leq 0$ pour $0\leq x\leq \dfrac{2}{3}$ donc $f$ est croissante sur $[\dfrac{2}{3};+\infty[$ et décroissante sur $[0;\dfrac{2}{3}]$.

3.$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{3}{4}x+e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}\right)=+\infty$ car

$\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty} e^X=0$

donc $\lim\limits_{x\to +\infty} e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=0$

et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{4}x=+\infty$

4. $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(f(x)-\dfrac{3}{4}x\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}}=0$ car $\lim\limits_{x\to +\infty}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty}e^X=0$

On déduit que $C$ admet la droite $\Delta$ pour asymptote lorsque $x$ tend vers $+\infty$

5. Ci-dessous, $C$ et $\Delta$

6. On considère la droite $D:y=\dfrac{4}{5}x$.

Graphiquement (voir ci-dessus) l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec $C$ a une abscisse comprise entre 3 et 3,5 (avec un encadrement d'amplitude 0,5).