Divisibilité par 3 ou par 11

Exercice 1

On veut montrer que pour un entier $N$ écrit en base $10$ :
$N = a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0$
(où $a_i$ sont ses chiffres, $0 \le a_i \le 9$),

c’est-à-dire
$N = a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$,

on a
$N \equiv a_k + a_{k-1} + \dots + a_0 \pmod{3}$.

1. Étude de $10^n$ modulo $3$

$10 \equiv 1 \pmod{3}$.

Donc $10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}$ pour tout $n \ge 0$.

👉 Petit conseil : commence toujours par regarder ce que vaut $10$ modulo le nombre étudié. Toute la suite repose dessus.

2. Calcul de $N$ modulo $3$

On écrit $N = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} a_i \cdot 10^i$.

Modulo $3$ :

$N \equiv \displaystyle\sum_{i=0}^{k} a_i \cdot (10^i \bmod 3)$
$N \equiv \displaystyle\sum_{i=0}^{k} a_i \cdot 1$
$N \equiv \displaystyle\sum_{i=0}^{k} a_i \pmod{3}$.

Donc
$N \equiv$ somme de ses chiffres $\pmod{3}$.

👉 Petit conseil : remplacer chaque $10^i$ par son reste simplifie complètement le calcul.

3. Règle retrouvée

On retrouve la règle de divisibilité par $3$ :

Un entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.

Plus généralement, $N$ et la somme de ses chiffres ont le même reste modulo $3$.

Exercice 2

1. Puissances de $10$ modulo $11$

$10 \equiv -1 \pmod{11}$.

Donc
$10^n \equiv (-1)^n \pmod{11}$.

Si $n$ est pair :
$10^n \equiv 1 \pmod{11}$.

Si $n$ est impair :
$10^n \equiv -1 \pmod{11}$.

👉 Petit conseil : dès que tu vois $10 \equiv -1$, pense immédiatement aux puissances de $-1$.

2. Vérifier que $53~724$ est multiple de $11$

On écrit
$53~724 = 5 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 4$.

Modulo $11$, avec $10^n \equiv (-1)^n$ :

$10^4 \equiv 1$
$10^3 \equiv -1$
$10^2 \equiv 1$
$10^1 \equiv -1$
$10^0 \equiv 1$.

Donc

$53~724 \equiv 5 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 7 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 1$

$\equiv 5 - 3 + 7 - 2 + 4$

$\equiv (5 + 7 + 4) - (3 + 2)$

$\equiv 16 - 5$

$\equiv 11 \equiv 0 \pmod{11}$.

Donc $53~724$ est divisible par $11$.

👉 Petit conseil : regroupe les termes positifs et négatifs pour faire apparaître une différence claire.

3. Critère de divisibilité par $11$

Pour un nombre $a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0$ en base $10$, il est divisible par $11$ si et seulement si la somme alternée $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$ est divisible par $11$.

Autrement dit,

$(a_0 + a_2 + a_4 + \dots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \dots) \equiv 0 \pmod{11}$.

C’est le critère connu de divisibilité par $11$.

👉 Petit conseil : retiens l’idée de “somme alternée”, c’est exactement ce que traduit la puissance de $-1$.