Dérivée de la fonction inverse et sens de variation

Exercice 1 — Calcul d’un taux de variation

On considère $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

1) Taux de variation entre $x_1=1$ et $x_2=2$

On applique la formule :
$\text{Taux de variation}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

On calcule :
$f(1)=\dfrac{1}{1}=1$
$f(2)=\dfrac{1}{2}$

Donc :
$\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-1}{1}$
$=\dfrac{1}{2}-1$
$=-\dfrac{1}{2}$

Le taux de variation vaut $-\dfrac{1}{2}$.

👉 Petit conseil : commence toujours par calculer $f(x_1)$ et $f(x_2)$, puis remplace dans la formule.

2) Taux de variation entre $x_1=2$ et $x_2=4$

$f(2)=\dfrac{1}{2}$
$f(4)=\dfrac{1}{4}$

Donc :
$\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}}{2}$

On met au même dénominateur :
$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{4}$

Donc :
$\dfrac{-\dfrac{1}{4}}{2}=-\dfrac{1}{8}$

Le taux de variation vaut $-\dfrac{1}{8}$.

👉 Petit conseil : diviser par $2$, c’est multiplier par $\dfrac{1}{2}$.

3) Évolution de $f$ sur $\mathbb R^+$

Comme les taux de variation sont négatifs et que $f(x)=\dfrac{1}{x}$ diminue quand $x$ augmente, on conclut :
$f$ est décroissante sur $\mathbb R^+$.

👉 Petit conseil : si le taux de variation est négatif entre deux points avec $x_2>x_1$, c’est un signe de décroissance.

Exercice 2 — Taux de variation et signe

1) Calcul du taux de variation entre $x_1=-4$ et $x_2=-2$

On applique la formule :
$\text{Taux de variation}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

On calcule les images :
$f(-4)=\dfrac{1}{-4}=-\dfrac{1}{4}$
$f(-2)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$

Donc :
$\dfrac{-\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{4}\right)}{-2-(-4)}$
$=\dfrac{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}}{2}$

On met au même dénominateur :
$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$

Ainsi :
$\dfrac{-\dfrac{1}{4}}{2}=-\dfrac{1}{8}$

Le taux de variation vaut $-\dfrac{1}{8}$.

2) Signe du taux de variation

On a :
$-\dfrac{1}{8}<0$

Le taux de variation est donc négatif.

3) Peut-on conclure à la décroissance sur $[-4;-2]$ ?

Non.
Un taux de variation négatif entre deux valeurs signifie seulement que :
$f(-2)<f(-4)$

Cela indique que la fonction a diminué entre ces deux points, mais cela ne garantit pas qu’elle soit décroissante sur tout l’intervalle $[-4;-2]$.

👉 Petit conseil : un taux de variation donne une information locale entre deux points, pas un comportement global sur tout un intervalle.

4) Conclusion rigoureuse à l’aide de la dérivée

On sait que : $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

Pour tout $x\in[-4;-2]$, on a : $x^2>0$ donc $\dfrac{1}{x^2}>0$

Ainsi : $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[-4;-2]$

Comme la dérivée est négative sur tout l’intervalle, on peut conclure rigoureusement que :

$f$ est décroissante sur $[-4;-2]$.

👉 Petit conseil : pour prouver qu’une fonction est décroissante sur un intervalle, on étudie le signe de sa dérivée, pas seulement un taux de variation.

Exercice 3 — Étude du sens de variation à l’aide de la dérivée

On considère $f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb R\setminus\{0\}$.

1) Expression de la dérivée

D’après la leçon :
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

2) Signe de $f'(x)$ pour $x>0$

Si $x>0$, alors $x^2>0$.
Donc $\dfrac{1}{x^2}>0$.

Ainsi :
$-\dfrac{1}{x^2}<0$

Donc, pour $x>0$, $f'(x)<0$.

3) Signe de $f'(x)$ pour $x<0$

Si $x<0$, alors $x^2>0$ quand même (un carré est toujours positif).
Donc $\dfrac{1}{x^2}>0$.

Ainsi :
$-\dfrac{1}{x^2}<0$

Donc, pour $x<0$, $f'(x)<0$.

4) Sens de variation de $f$

Comme $f'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$, $f$ est décroissante sur $]-\infty;0[$.
Comme $f'(x)<0$ sur $]0;+\infty[$, $f$ est décroissante sur $]0;+\infty[$.

Conclusion : $f$ est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.

👉 Petit conseil : le signe de la dérivée donne directement le sens de variation.

Exercice 4 — Lecture graphique et variations

On considère la courbe de $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

1) Sur $[1;5]$

Quand $x$ passe de $1$ à $5$, la valeur $\dfrac{1}{x}$ passe de $1$ à $\dfrac{1}{5}$.
Elle diminue, donc la fonction est décroissante sur $[1;5]$.

2) Sur $[-5;-1]$

Quand $x$ passe de $-5$ à $-1$, la valeur $\dfrac{1}{x}$ passe de $-\dfrac{1}{5}$ à $-1$.
Elle diminue aussi (elle devient plus négative), donc la fonction est décroissante sur $[-5;-1]$.

👉 Petit conseil : “plus négatif” signifie “plus petit”.

3) Compatibilité avec le signe de la dérivée

Dans l’exercice 3, on a trouvé :
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ pour tout $x\neq0$.

Une dérivée toujours négative sur un intervalle signifie que la fonction est décroissante sur cet intervalle.
Donc oui, le graphique est compatible avec le signe de la dérivée.

Exercice 5 — Situation concrète : coût unitaire

On a $C(x)=\dfrac{500}{x}$ avec $x>0$.

1) Ensemble de définition

On ne peut pas diviser par $0$, donc $x\neq0$.
Mais ici, $x$ représente un nombre d’articles produits, donc $x>0$.

Ainsi, l’ensemble de définition est : $D_C=]0;+\infty[$

2) Calculer la dérivée $C'(x)$

On sait que la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$.
Ici :
$C(x)=500\times\dfrac{1}{x}$

Donc :
$C'(x)=500\times\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$
$=-\dfrac{500}{x^2}$

3) Signe de $C'(x)$

Pour $x>0$, on a $x^2>0$, donc $\dfrac{500}{x^2}>0$.
Ainsi :
$-\dfrac{500}{x^2}<0$

Donc $C'(x)<0$ pour tout $x>0$.

4) Sens de variation de $C$

Comme $C'(x)<0$ sur $]0;+\infty[$, la fonction $C$ est décroissante sur $]0;+\infty[$.

5) Interprétation concrète

Comme $C$ est décroissante, quand le nombre d’articles produits $x$ augmente, le coût unitaire $C(x)$ diminue.

👉 Petit conseil : “dérivée négative” $\Rightarrow$ “fonction décroissante” $\Rightarrow$ “plus $x$ augmente, plus $C(x)$ baisse”.