Définition et ensemble de définition de la fonction inverse

Exercice 1 — Ensemble de définition et images

On considère la fonction inverse définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

1) Donner l’ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$

Dans $f(x)=\dfrac{1}{x}$, on divise par $x$.
Or la division par $0$ est impossible, donc $x$ ne peut pas valoir $0$.

Ainsi :
$D_f=\mathbb R\setminus\{0\}$

👉 Petit conseil : dès que tu vois une fraction avec $x$ au dénominateur, pense “interdit : $x=0$”.

2) Calculer les images : $f(2)$, $f(-4)$, $f(0,5)$, $f(-0,25)$

On applique la définition $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

$f(2)=\dfrac{1}{2}=0,5$

$f(-4)=\dfrac{1}{-4}=-\dfrac{1}{4}=-0,25$

$f(0,5)=\dfrac{1}{0,5}=2$

$f(-0,25)=\dfrac{1}{-0,25}=-4$

👉 Petit conseil : $0,5=\dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{1}{0,5}=2$~; de même $0,25=\dfrac{1}{4}$ donc $\dfrac{1}{0,25}=4$.

3) Dire si $f(x)$ est positif ou négatif lorsque $x$ est négatif

Si $x$ est négatif, alors $\dfrac{1}{x}$ est aussi négatif (car $1$ est positif et on divise par un nombre négatif).

Donc, lorsque $x<0$, on a $f(x)<0$.

👉 Petit conseil : le signe d’une fraction dépend du signe du dénominateur quand le numérateur est positif.

Exercice 2 — Images et antécédents

On considère $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

1) Calculer l’image de $x=5$ puis celle de $x=-2$

$f(5)=\dfrac{1}{5}=0,2$

$f(-2)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}=-0,5$

2) Déterminer l’antécédent de $y=0,2$

Chercher l’antécédent de $0,2$, c’est résoudre :
$f(x)=0,2$

Donc :
$\dfrac{1}{x}=0,2$

Or $0,2=\dfrac{1}{5}$, donc :
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{5}$

On en déduit :
$x=5$

👉 Petit conseil : “antécédent” $\Rightarrow$ tu poses une équation $f(x)=\text{valeur}$.

3) Déterminer l’antécédent de $y=-4$

On résout :
$\dfrac{1}{x}=-4$

On peut écrire $-4=-\dfrac{4}{1}$.
On inverse (ou on multiplie par $x$) :

$\dfrac{1}{x}=-4 \Longleftrightarrow 1=-4x$

Donc :
$x=-\dfrac{1}{4}=-0,25$

4) Expliquer pourquoi $y=0$ n’admet pas d’antécédent

Chercher un antécédent de $0$ revient à résoudre :
$\dfrac{1}{x}=0$

Mais une fraction $\dfrac{1}{x}$ ne peut jamais être égale à $0$ car le numérateur vaut $1$ et n’est pas nul.

Donc $0$ n’a pas d’antécédent.

👉 Petit conseil : une fraction est nulle seulement si son numérateur est nul.

Exercice 3 — Comparaisons sans calculatrice

Comparer sans calculatrice, en justifiant.

1) $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{5}$

Les deux sont positifs.
Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.

Comme $5>2$, on a :
$\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{2}$

Donc :
$\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{5}$

2) $\dfrac{1}{0,2}$ et $\dfrac{1}{0,8}$

On calcule les inverses :
$0,2=\dfrac{1}{5}$ donc $\dfrac{1}{0,2}=5$
$0,8=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$ donc $\dfrac{1}{0,8}=\dfrac{5}{4}=1,25$

Donc :
$\dfrac{1}{0,2}>\dfrac{1}{0,8}$

👉 Petit conseil : pour les nombres positifs, plus $x$ est petit, plus $\dfrac{1}{x}$ est grand.

3) $\dfrac{1}{-3}$ et $\dfrac{1}{-10}$

Ce sont deux nombres négatifs.
Calculons sous forme décimale ou comparons :

$\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}\approx-0,33$
$\dfrac{1}{-10}=-0,1$

Or $-0,33<-0,1$, donc :
$\dfrac{1}{-3}<\dfrac{1}{-10}$

👉 Petit conseil : parmi les nombres négatifs, celui qui est “le plus éloigné de 0” est le plus petit.

4) $\dfrac{1}{100}$ et $\dfrac{1}{0,01}$

$\dfrac{1}{100}=0,01$
et $0,01=\dfrac{1}{100}$ donc :
$\dfrac{1}{0,01}=100$

Ainsi :
$\dfrac{1}{100}<\dfrac{1}{0,01}$

Exercice 4 — Lecture graphique et comportement

On considère la courbe de $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

1) Que devient $f(x)$ quand $x\to0^+$ ?

Quand $x$ est positif et très proche de $0$, $\dfrac{1}{x}$ devient très grand.

Donc :
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$

2) Que devient $f(x)$ quand $x\to0^-$ ?

Quand $x$ est négatif et très proche de $0$, $\dfrac{1}{x}$ devient très petit (très négatif).

Donc :
$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty$

3) Comportement quand $x$ devient très grand

Si $x\to+\infty$, alors $\dfrac{1}{x}\to0$.
Si $x\to-\infty$, alors $\dfrac{1}{x}\to0$ aussi.

Donc :
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0$

4) Pourquoi la courbe ne coupe jamais les axes ?

Couper l’axe des ordonnées voudrait dire prendre $x=0$, mais $0$ n’appartient pas à $D_f$ : la fonction n’est pas définie en $0$.
Couper l’axe des abscisses voudrait dire $f(x)=0$, mais $\dfrac{1}{x}$ n’est jamais nul.

Donc la courbe ne coupe aucun des deux axes.

👉 Petit conseil : “couper l’axe des abscisses” $\Rightarrow$ résoudre $f(x)=0$.

Exercice 5 — Situation concrète (vitesse moyenne)

$v(t)=\dfrac{120}{t}$ avec $t$ en heures.

1) Calculer $v(2)$ puis $v(4)$

$v(2)=\dfrac{120}{2}=60$

$v(4)=\dfrac{120}{4}=30$

2) Temps nécessaire pour $60$ km/h

On cherche $t$ tel que :
$\dfrac{120}{t}=60$

On multiplie par $t$ :
$120=60t$

On divise par $60$ :
$t=2$

Donc il faut $2$ heures.

3) Évolution quand le temps augmente

Quand $t$ augmente, on divise $120$ par un nombre plus grand, donc la vitesse diminue.

Donc $v(t)$ décroît lorsque $t$ augmente.

4) Peut-on atteindre une vitesse nulle ?

Avoir $v(t)=0$ reviendrait à résoudre :
$\dfrac{120}{t}=0$

Impossible, car une fraction de numérateur $120$ ne peut pas être nulle.
En revanche, quand $t$ devient très grand, $v(t)$ se rapproche de $0$.

Donc on ne l’atteint jamais, mais on peut s’en rapprocher.

👉 Petit conseil : une fonction du type $\dfrac{k}{t}$ se rapproche de $0$ quand $t$ grandit, sans jamais l’atteindre.