Un cube dans une pyramide

On utilise l’idée clé suivante :
le cube a une arête de $5$ cm, donc sa « hauteur » dans la pyramide est $5$ cm, et la section de la pyramide par un plan parallèle à la base à cette hauteur est semblable à la base (même forme, dimensions proportionnelles).

On sait aussi que la hauteur de la pyramide est $SB=15$ cm.

👉 Conseil : dès que tu vois « cube inscrit » et « plan parallèle à la base », pense sections semblables donc Thalès / homothétie.

1) Dans le triangle $ABS$, calculer $AB$

Le plan de coupe parallèle à la base situé à $5$ cm de la base coupe la pyramide suivant un quadrilatère qui correspond à une face du cube, donc de côté $5$ cm.

La distance entre la base et ce plan vaut $5$ cm, donc la distance entre l’apex $S$ et ce plan vaut :
$15-5=10$ cm.

Les longueurs dans une section parallèle à la base sont proportionnelles à la distance à $S$.

Donc le rapport de réduction entre la base $ABCD$ (à distance $15$ de $S$) et la section « du cube » (à distance $10$ de $S$) est :
$\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$

Si on note $AB$ le côté correspondant dans la base, alors le côté correspondant dans la section vaut $5$ cm, donc :
$5=\dfrac{2}{3}AB$

Ainsi : $AB=\dfrac{3}{2}\times5=7,5$

Conclusion : $AB=7,5$ cm.

👉 Conseil : écris toujours clairement « distance à $S$ » pour les deux plans, puis fais le rapport.

2) Représenter en vraie grandeur la face $SBC$ et en déduire $BC$

Dans la base, $BC$ est un côté correspondant à $AB$ (même nature de côté sur la base).

Donc : $BC=AB=7,5$ cm.

👉 Conseil : ici, la « vraie grandeur » sert surtout à visualiser, mais la longueur $BC$ se déduit directement du résultat de la question 1.

3) On admet que $(AD)$ et $(EF)$ sont parallèles

3)a) Représenter en vraie grandeur la face $ABD$

La face $ABD$ est une face de la base : on la représente avec les longueurs de la base, notamment $AB=7,5$ cm.

3)b) Calculer $AD$

La base $ABCD$ est une face « du sommet » de la pyramide (un quadrilatère) et, comme les côtés correspondants sont égaux (même réduction, même section carrée du cube), on obtient :
$AD=AB=7,5$ cm.

Conclusion : $AD=7,5$ cm.

👉 Conseil : quand tu montres qu’un quadrilatère a ses 4 côtés égaux, tu penses tout de suite « losange » ou « carré » ; il restera à justifier l’angle droit (question 5).

4) Calculer de même $CD$

Par le même raisonnement (côtés correspondants de la base) :
$CD=AB=7,5$ cm.

5) Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier

On a trouvé :
$AB=BC=CD=DA=7,5$

Donc $ABCD$ a ses 4 côtés égaux : c’est un losange.

De plus, sur la figure (base issue d’une face « carrée » par section parallèle et face du cube), les angles sont droits : on en déduit que $ABCD$ est un carré.

Conclusion : $ABCD$ est un carré.

👉 Conseil :

• 4 côtés égaux $\Rightarrow$ losange

• losange + 1 angle droit $\Rightarrow$ carré

6) Calculer le volume de la pyramide $SABCD$

Aire de la base (carré de côté $7,5$) :
$\mathcal{A}_{ABCD}=7,5^2=56,25$

Volume d’une pyramide :
$V=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{ABCD}\times SB$

Donc :
$V=\dfrac{1}{3}\times56,25\times15$

$56,25\times15=843,75$

$V=\dfrac{843,75}{3}=281,25$

Conclusion : $V=281,25$ cm$^3$.

👉 Conseil : ne te précipite pas : écris d’abord la formule du volume, puis remplace à la fin.