Résolution d'inéquation et aires

1) « Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ? »

Le point $M$ est sur le segment $[BC]$ et on pose $BM=x$.

Donc $x$ est une longueur, elle ne peut pas être négative : $x \ge 0$

Sur la figure, on lit $BC=12$ cm, donc $BM$ ne peut pas dépasser $BC$ : $x \le 12$

Conclusion : $0 \le x \le 12$

👉 Conseil : pour une longueur définie sur un segment, pense toujours « entre $0$ et la longueur totale du segment ».

2) « Pour quelles valeurs de $x$ l’aire de $DMC$ est-elle supérieure ou égale à l’aire de $ABM$ ? »

On va calculer les deux aires en fonction de $x$.

Aire du triangle $ABM$

Le triangle $ABM$ est rectangle en $B$ (car $AB\perp BC$).

On peut donc prendre comme base $BM=x$ et comme hauteur $AB=6$.

$\mathcal{A}_{ABM}=\dfrac{BM\times AB}{2}=\dfrac{x\times6}{2}=3x$

Aire du triangle $DMC$

Le triangle $DMC$ est rectangle en $C$ (car $DC\perp BC$).

On prend comme base $MC$ et comme hauteur $DC=8$.

Comme $BC=12$ et $BM=x$, on a :
$MC = BC - BM = 12 - x$

Donc : $\mathcal{A}_{DMC}=\dfrac{MC\times DC}{2}=\dfrac{(12-x)\times8}{2}=4(12-x)=48-4x$

👉 Conseil : quand un point partage un segment, écris tout de suite $MC=BC-BM$ (ça évite de te perdre).

Mise en inégalité

On veut : $\mathcal{A}{DMC}\ge\mathcal{A}{ABM}$

Soit : $48-4x \ge 3x$

On regroupe les termes en $x$ : $48 \ge 7x$

On divise par $7$ (positif, donc le sens de l’inégalité ne change pas) : $x \le \dfrac{48}{7}$

Comme on sait déjà que $0\le x\le12$, la solution finale est : $0 \le x \le \dfrac{48}{7}$ ce qui peut s'écrire : $x\in \left[0~;~\dfrac{48}{7}\right]$.

Conclusion : l’aire de $DMC$ est supérieure ou égale à l’aire de $ABM$ lorsque $M$ est placé sur $[BC]$ à une distance $BM$ comprise entre $0$ et $\dfrac{48}{7}$ cm.

👉 Conseil : à la fin, pense à recroiser avec la condition $0\le x\le12$ (sinon tu peux garder une solution impossible).