Initiation

L'ensembles des nombres complexes : définitions et opérations

Signaler

Énoncé

Exercice 1


Soit z=3+2i et z′=4−3iz=3+2\text i \text{ et } z'=4-3\text i deux nombres complexes.

Déterminer la forme algébrique de z+z′z+z', zz′zz' et zz′\dfrac{z}{z'}.

Exercice 2

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

Z1=(−4+6i)(3−2i)Z_1=(-4+6\text i)(3-2\text i)

Z2=(2−3i)2Z_2=(2-3\text i)^2

Z3=51−2iZ_3=\dfrac{5}{1-2\text i}

Exercice 3


Soit xx et yy réels.
On appelle z=x+iyz=x+\text i y le nombre complexe différent de i\text i.

  • Déterminer la forme algébrique du complexe Z=z+1z−iZ=\dfrac{z+1}{z-\text i}

  • Donner la partie réelle et la partie imaginaire de ZZ

Révéler le corrigé

Exercice 1

Soit z=3+2i et z′=4−3iz=3+2\text i \text{ et } z'=4-3\text i deux nombres complexes. On a :

z+z′=(3+2i)+(4−3i)=7−iz+z'=(3+2\text i)+(4-3\text i)=7-\text i

zz′=(3+2i)(4−3i)=12−9i+8i+6=18−izz'=(3+2\text i)(4-3\text i)=12-9\text i+8\text i+6=18-\text i

zz′=3+2i4−3i=(3+2i)(4+3i)25=12+9i+8i−625=6+17i25=625+1725i\dfrac{z}{z'}=\dfrac{3+2\text i}{4-3\text i}=\dfrac{(3+2\text i)(4+3\text i)}{25}=\dfrac{12+9\text i+8\text i-6}{25}=\dfrac{6+17\text i}{25}=\dfrac{6}{25}+\dfrac{17}{25}\text i

Exercice 2

Z1=(−4+6i)(3−2i)=−12+8i+18i+12=26iZ_1=(-4+6\text i)(3-2\text i)=-12+8\text i+18\text i+12=26\text i

Forme algébrique de Z2Z_2

Z2=(2−3i)2Z_2=(2-3\text i)^2

Z2=(2−3i)2=4−12i−9=−5−12iZ_2=(2-3\text i)^2=4-12\text i-9=-5-12\text i

Forme algébrique de Z3Z_3

Z3=51−2iZ_3=\dfrac{5}{1-2\text i}

Z3=51−2i=5(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5(1+2i)5=1+2iZ_3=\dfrac{5}{1-2\text i}=\dfrac{5(1+2\text i)}{(1-2\text i)(1+2\text i)}=\dfrac{5(1+2\text i)}{5}=1+2\text i

Exercice 3

Forme algébrique du complexe ZZ avec z=x+iyz=x+\text i y et z≠iz\neq \text i.

Z=z+1z−iZ=\dfrac{z+1}{z-\text i}

Z=(x+1)+iyx+i(y−1)\phantom{Z}=\dfrac{(x+1)+\text i y}{x+\text i (y-1)}

Z=((x+1)+iy)(x−i(y−1))x2+(y−1)2\phantom{Z}=\dfrac{((x+1)+\text i y)(x-\text i (y-1))}{x^2+(y-1)^2}

Z=(x+1)x−i(x+1)(y−1)+iyx+y(y−1)x2+(y−1)2\phantom{Z}=\dfrac{(x+1)x-\text i (x+1)(y-1)+\text i yx+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2}

Z=(x2+x+y2−y)+i(−xy+x−y+1+xy)x2+(y−1)2\phantom{Z}=\dfrac{(x^2+x+y^2-y)+\text i(-xy+x-y+1+xy)}{x^2+(y-1)^2}

Z=(x2+y2+x−y)+i(x−y+1)x2+(y−1)2\phantom{Z}=\dfrac{(x^2+y^2+x-y)+\text i(x-y+1)}{x^2+(y-1)^2}

Ainsi Z=X+iYZ=X+\text i Y avec
X=x2+y2+x−yx2+(y−1)2X=\dfrac{x^2+y^2+x-y}{x^2+(y-1)^2} et Y=x−y+1x2+(y−1)2Y=\dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}

La partie réelle de ZZ est donc : ℜ(Z)=x2+y2+x−yx2+(y−1)2\boxed{\Re(Z)=\dfrac{x^2+y^2+x-y}{x^2+(y-1)^2}}

La partie imaginaire de ZZ est donc : ℑ(Z)=x−y+1x2+(y−1)2\boxed{\Im(Z)=\dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}}

Exercice suivant
Équations avec complexe et conjugué