Automatismes (2)

Tableau "énoncé-réponse" des questions de 1 à 5.

Les détails du calcul sont donnés à la suite du tableau.

Détails des 5 premières réponses

1. Déterminons l'équation réduite de la droite (AB) sachant que cette droite passe par les points $A(2 ; 4)$ et $B(6 ; 16)$.
   L'équation réduite de la droite $(AB)$ est de la forme : $y = ax + b$

Première méthode : par le coefficient directeur.
Calcul du coefficient directeur $a$.
$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{16-4}{6-2}=\dfrac{12}{4}\Longrightarrow\boxed{a=3}$
L'équation réduite de la droite $(AB)$ est donc : $y = 3x + b$
La droite $(AB)$ passe par $A(2 ; 4)$.
$4 = 3 \times 2 + b \Longrightarrow 4 = 6 + b \Longrightarrow b = -2$
Donc $y=3x-2$

Deuxième méthode : par l'appartenance des points $A$ et $B$ à la droite $(AB)$.

L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : $y = ax+ b$

Le point $A(2 ; 4)$ appartient à la droite $(AB)$. Dans l'équation de $(AB)$, nous pouvons remplacer $x$ par $2$ et $y$ par $4$.

Le point $B(6 ; 16)$ appartient à la droite $(AB)$. Dans l'équation de $(AB)$, nous pouvons remplacer $x$ par $6$ et $y$ par $16$.

Dès lors :

Donc $(AB):y=3x-2$

2. Soit $f$ définie par $f(x)=2x^2-x+3$
   $f(-3)=2\times(-3)^2-(-3)+3=2\times9+3+3=18+6\Longrightarrow\boxed{f(-3)=24}$
   L'ordonnée cherchée est donc $24$.

$4(x+2)+(x+2)^2=4(x+2)+(x+2)(x+2)=(x+2)[4+(x+2)]=(x+2)(x+6)$
Donc $\boxed{4(x+2)+(x+2)^2=(x+2)(x+6)}$

4. Soit $g(x)=-3x+7$
   $g(x) = -11 \Longleftrightarrow -3x+7 = -11 \Longleftrightarrow -3x = -18 \Longleftrightarrow x = \dfrac{-18}{-3} = 6$
   Donc l'antécédent est $x = 6$

5. Notons $p$ le prix initial.
   $20 \% = \dfrac{20}{100} = 0,2$
   $p - 0,2p = 200 \Longleftrightarrow 0,8p = 200 \Longleftrightarrow p = \dfrac{200}{0,8} = 250$
   Le prix initial était donc de $250$ euros.

Tableau "énoncé-réponse" des questions 6 à 9

Détails des réponses de 6 à 9

$\dfrac{10+10^3}{10} = \dfrac{10+1000}{10} = \dfrac{1010}{10} = 101$
Autre méthode :
$\dfrac{10}{10} + \dfrac{10^3}{10} = 1 + 10^2 = 1 + 100 = 101$

$x^2 = 25 \Longleftrightarrow x^2 - 25 = 0 \Longleftrightarrow (x+5)(x-5) = 0 \Longleftrightarrow x = -5 \text{ ou } x = 5$

$I = \dfrac{m}{t^2} \Longleftrightarrow t^2 = \dfrac{m}{I} \Longleftrightarrow t = \sqrt{\dfrac{m}{I}}$

Les racines de $(x-1)(x+3)$ sont $x = -3$ et $x = 1$
Signe : positif avant $-3$, négatif entre $-3$ et $1$, puis positif après $1$.

10.