Algorithme et suites numériques (2)

1.a $u_{n+1}=u_n+\dfrac{14}{100}u_n-7=1,14u_n-7$

1.b En 2018, le nombre de contrats est $u_1=1,14u_0-7=1,14\times120-7=129,8$ soit environ 130 contrats.

2.a 2.b $u_5\approx 184,78$ et $u_6\approx 203,65$
L'algorithme affiche 2023, année à partir de laquelle l'entreprise devra embaucher.

3.a Soit $v_n=u_n-50$
Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1}-50=1,14u_n-7-50=1,14u_n-57=1,14\left(u_n-\dfrac{57}{1,14}\right)=1,14(u_n-50)=1,14v_n$
$(v)$ est donc une suite géométrique de raison 1,14.
Son premier terme est $v_0=u_0-50=70$

3.b $v_n=70\times (1,14)^n$
On en déduit : $u_n=v_n+50=70(1,14)^n+50$

3.c On cherche $n$ entier tel que $u_n>190$ soit
$70(1,14)^n+50>190$
$70(1,14)^n>140$
$1,14^n>2$

$n\ln(1,14)>\ln(2)$ or $\ln(1,14)>0$ (on peut employer soit le logarithme népérien noté $\ln$ soit le logarithme décimal noté $\log$.)

$n>\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,14)}$ quotient dont la valeur est d'environ 5,29

On prendra donc $n\ge 6$
On retrouve qu'à partir de l'année $2017+6=2023$ l'entreprise devra embaucher.