Pour aller plus loin : définition vectorielle des homothéties

1. Définition d’une homothétie

Une homothétie est une transformation du plan qui conserve les alignements et les rapports de longueurs. Elle dépend de deux éléments :

• un centre $O$

• un rapport réel $k$

L’image d’un point $M$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est un point $M'$ tel que :

$\overrightarrow{OM'} = k \cdot \overrightarrow{OM}$

Cela signifie que le vecteur $\overrightarrow{OM'}$ est colinéaire à $\overrightarrow{OM}$, dans le même sens si $k > 0$, dans le sens opposé si $k < 0$, et de norme multipliée par $|k|$.

2. Interprétation géométrique

• Si $k = 1$, on a $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{OM}$ donc $M' = M$

• Si $k > 1$, $M'$ est plus éloigné de $O$ que $M$, sur la même droite et dans le même sens

• Si $0 < k < 1$, $M'$ est plus proche de $O$ que $M$

• Si $k < 0$, $M'$ est de l’autre côté de $O$, sur la même droite que $M$, mais dans le sens opposé

3. Application aux figures

Lorsqu’on applique une homothétie de rapport $k$ à une figure :

• les longueurs sont multipliées par $|k|$

• les aires sont multipliées par $k^2$

• les angles restent inchangés

• les droites restent parallèles si elles l’étaient

Exemples d'application

Exemple 1 :

Soit $O(0\,;\,0)$, $M(2\,;\,3)$ et $k = 2$,

$\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OM'} = 2 \cdot \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$
Donc $M'(4\,;\,6)$ est l’image de $M$

Exemple 2 :

Soit $O(1\,;\,1)$, $M(3\,;\,5)$ et $k = -\dfrac{1}{2}$
$\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{OM'} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$
Alors le centre d’homothétie $O$ se situe entre $M$ et son image $M'$.

Exercices corrigés

Exercice 1 :

Soit $O(0\,;\,0)$, $M(3\,;\,-2)$ et $k = 3$
Déterminer les coordonnées de $M'$ image de $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.

👉 N'oublie pas de te vérifier par un dessin !

Correction :
$\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ donc
$\overrightarrow{OM'} = 3 \cdot \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \end{pmatrix}$
$M'(9\,;\,-6)$

Exercice 2 :

Soit $A(1\,;\,0)$, $M(5\,;\,4)$ et $k = -2$
Calculer les coordonnées $(x'\,;\,y')$ de $M'$ image de $M$ par homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$.

Correction :
$\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}5 - 1\\4 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AM'} = -2 \cdot \begin{pmatrix}4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\-8 \end{pmatrix}$
Donc $\begin{pmatrix}x' -1\\y'-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\-8\end{pmatrix}$

et : $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-8\end{pmatrix}$

Le point $M'$ a pour coordonnées $(-7\,;-8)$.

Exercice 3 :

Dessiner l'image d'un carré par une homothétie de centre $O$, point extérieur au carré, et de rapport $-\dfrac 12$.

Correction :

⚠️ le rapport vaut $-\dfrac 12$ et est donc négatif ; les longueurs sont multipliées par la valeur absolue du rapport soit $+\dfrac 12$ et les aires par le carré soit $\dfrac 14$.

Résumé à retenir

• Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ transforme $M$ en un point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'} = k \cdot \overrightarrow{OM}$

• Elle conserve les directions, les alignements et les rapports de longueurs

• $k > 0$ : même sens ; $k < 0$ : sens opposé ; $|k| > 1$ : agrandissement ; $|k| < 1$ : réduction