Une fonction, c'est quoi ?

Tu as déjà rencontré les fonctions ! que sais-tu ?

I. Une fonction = une boîte noire qui relie des nombres entre-eux

On donne un nombre $x$ à la boîte noire, et la boîte nous sort un nombre $y$.

Pour un nombre $x$ donné, il n'y a qu'un seul $y$ en sortie de la boîte.

On dit que $y$ est l'image de $x$ par la boîte noire, ou encore que $y$ est l'image de $x$ par une fonction (celle que représente la boîte noire).

$\checkmark$ Le nombre $x$ ne peut pas avoir plusieurs images.

$\checkmark$ Des nombres différents $x$ et $x'$ peuvent avoir la même image.

$\checkmark$ Le nombre $x$ peut ne pas avoir d'image.

On va appeler $f$ la boîte noire, on obtient alors :

Une fonction est un objet mathématique qui permet de relier des nombres entre-eux.

Le nombre d'arrivée $y$ s'appelle l'image de $x$ par $f$.

Le ou les nombres $x$qui sont envoyés sur $y$ s'appellent l'antécédent de $y$ ou les antécédents de $y$ par $f$.

II. Comment relier des nombres entre-eux ?

Dans la boîte noire, il peut exister un programme de calcul, un tarif PTT en fonction du poids du colis, un tableau de valeurs, ou même un dessin, une expression en fonction du nombre $x$ donné au départ.

1. Exemple de fonction définie par un programme de calcul

Soit le programme de calcul suivant

$\checkmark$ Choisir un nombre

$\checkmark$ Le mettre au carré

$\checkmark$ Lui ajouter $3$

$\checkmark$ Multiplier le résultat par $2$

$1.$ Appliquer le programme de calcul en choisissant comme nombre de départ $5$.

$2.$ Appliquer le programme de calcul en choisissant comme nombre de départ $x$.

$3.$ Donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.

Solution :

$1.$ $\checkmark$ Je choisis le nombre $5$

$\checkmark$ Le mettre au carré : j'obtiens $25$

$\checkmark$ Lui ajouter $3$ : j'obtiens $28$

$\checkmark$ Multiplier le résultat par $2$ : j'obtiens $56$

$2.$ $\checkmark$ Je choisis le nombre $x$

$\checkmark$ Le mettre au carré : j'obtiens $x^2$

$\checkmark$ Lui ajouter $3$ : j'obtiens $x^2+3$

$\checkmark$ Multiplier le résultat par $2$ : j'obtiens $2(x^2+3)$ que je peux également écrire $2x^2+6$.

$3.$ Par la fonction $f$ l'image de $x$ vaut $2x^2+6$. On écrit :

$f(x)=2x^2+6$ ou $f\;:\; x \mapsto 2x^2+6$

Exemple de tableau de valeurs pour cette fonction $f$ :

$\checkmark$ Sur la seconde ligne du tableau on lit l'image de $x$ par $f$ .

Exemple : $6$ est l’image de $0$ par $f$

$\checkmark$ Sur la première ligne du tableau, on lit $x$ antécédent de $f(x)$

Exemple : $1$ est l'antécédent de $8$ par $f$

2. Exemple d'une fonction définie par un tableau de valeurs

Voici un extrait de tarif pour les colis en France.

On entre un poids dans la boîte noire, il en ressort un prix. Le prix est fonction du poids du colis. Ici : $f(\text{poids})=\text{ prix}$

Dont on a fait une représentation graphique :

On retrouve sur le dessin que, par exemple, entre $0$ et $250$ g le tarif est de $5,25$ €. Ce poids n'a qu'une seule image qui est $5,25$.

On retrouve aussi que pour un prix de 10,70 €, ce sont les colis d'un poids entre 1000 et 2000 g. Le nombre $10,70$ a une infinité d'antécédents.

3. Exemple de fonction définie par une courbe

La taille d'un bébé (en cm) en fonction de son âge (en mois) est donné par ces courbes. En supposant que le bébé suive la courbe de croissance notée M, on peut en fonction de son âge lire sur le graphique sa taille.

On peut lire que pour 28 mois, la taille du bébé est d'environ 91 cm. On pourra écrire que $f(28)=91$.

4. Exemple d'une fonction définie par une expression

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-4x+6$.

On peut construire un premier tableau de valeurs, puis un second en ajoutant d'autres valeurs de $x$.

On reporte dans un repère les valeurs trouvées, on met en abscisse les valeurs de $x$ et en ordonnées celles de $f(x)$.Retenir :

Dire que $A(1\;;\;3)$ appartient à la courbe représentative de $f$ signifie que $f(1)=3$