Dans la vie quotidienne, travailler signifie faire un effort.
En physique, lorsqu'une force exercée sur un mobile fait varier la valeur de la vitesse du mobile, on dit que la force travaille.
Cette fiche précise la notion de travail d'une force, notion essentielle pour aborder l'aspect énergétique des actions mécaniques.

I. Notion de force constante

Définition :
$\circ\quad$ Une force est dite constante si elle garde la même direction, le même sens et la même intensité tout au long de l'étude.
$\circ\quad$ Seul le point d'application de cette force se déplace.
Exemple : le poids $\overrightarrow{P}$ d'un solide, dont la masse $m$ reste constante, a toujours même direction (verticale), même sens (vers le bas) et même valeur ( $P = m \times g$ ) : c'est donc un vecteur constant (tant que le mobile se déplace dans une "petite zone" à proximité de la surface terrestre).

II. Travail d'une force constante

1. Définition

Considérons une force constante $\overrightarrow{F}$ , appliquée sur le point matériel $M$ le long du chemin parcouru $AB$ :

picture-in-text

Définition :
L'expression du travail d'une force constante $\overrightarrow{F}$ sur un déplacement $\overrightarrow{AB}$ , notée $W_{AB}(\overrightarrow{F})$ , est donnée par la formule :
$\boxed{W_{AB} (\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos \alpha}$
$\circ\quad$ $W_{AB}(\overrightarrow{F})$ : travail de la force $\overrightarrow{F}$ en joule ( $J$ ) ;
$\circ\quad$ $F$ : intensité de la force ( $N$ ) ;
$\circ\quad$ $AB$ : distance parcourue ( $m$ ) ;
$\circ\quad$ $(\widehat{\overrightarrow{F} , \overrightarrow{AB}}) = \alpha$ : angle entre le vecteur $\overrightarrow{F}$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ .
Remarques :
$\circ\quad$ Le travail est un produit scalaire entre deux vecteurs : il peut être positif, négatif ou nul.
$\circ\quad$ Le travail d'une force constante est indépendant du chemin parcouru.
Exemple : lorsqu'un skieur descend ou remonte une pente, le travail de son poids ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée, il ne dépend pas de la trajectoire suivie entre ces deux points !

2. Travail moteur, travail résistant, travail nul

Propriété :
Le travail d'une force est :
$\circ\quad$ Moteur si $0^o \le \alpha < 90^o$ donc si $W_{AB}(\overrightarrow{F}) \gt 0$ ;
$\circ\quad$ Résistant si $90^o < \alpha \le 180^o$ donc si $W_{AB}(\overrightarrow{F}) \lt 0$ ;
$\circ\quad$ Nul si $\alpha = 90^o$ (force perpendiculaire au déplacement) ou si $AB = 0$ (aucun déplacement).
Exemple :
Une voiture circule d'un point $A$ à un point $B$ :
$\circ\quad$ Le poids et la réaction du support forment un angle de 90° avec le segment AB $\Rightarrow$ Le travail du poids et de la réaction du support sont nuls.
$\circ\quad$ La force $\overrightarrow{F}$ forme un angle de 0° avec $\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow$ Le travail de la force $\overrightarrow{F}$ est moteur.
$\circ\quad$ La force $\overrightarrow{f}$ forme un angle de 180° avec $\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow$ Le travail de la force $\overrightarrow{f}$ est résistant.

3. Travail du poids

Le travail du poids peut être calculé à partir de la formule du travail d'une force :
$W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB}$
$\Leftrightarrow W_{AB}(\overrightarrow{F}) = F \times AB \times \cos(\widehat{\overrightarrow{P},\overrightarrow{AB}})$
Prenons $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$ tel que $\overrightarrow{AC}$ soit perpendiculaire à $\overrightarrow{P}$ :

picture-in-text

$W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{CB}$

Or $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ car les vecteurs sont orthogonaux.

Donc $W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{CB}$

$W_{AB}(\overrightarrow{P}) = P \times CB \times \cos(\widehat{\overrightarrow{P},\overrightarrow{CB}})$

Or $\cos(\widehat{\overrightarrow{P} , \overrightarrow{CB}}) = \cos(0^o) = 1$

$W_{AB}(\overrightarrow{P}) = P \times CB$

et $CB = \text{altitude de A} (z_a) - \text{altitude de B} (z_b)$

Travail du poids :
Si le centre de gravité d'un système se déplace d'un point $A$ à un point $B, le travail du poids lors du déplacement est donné par l'expression suivante :$ W_{AB}(\overrightarrow{P}) = P \cdot (z_{A} - z_{B}) $$ \Leftrightarrow \boxed{W_{AB}(\overrightarrow{P}) = m \times g \times (z_{A} - z_{B})} $$ \circ\quadW_{AB}(\overrightarrow{P}) $: travail du poids ($ J $) ;$ \circ\quadP $: poids ($ N $) ;$ \circ\quadz_{A} $: altitude de départ ($ m $) ;$ \circ\quadz_{B} $: altitude d'arrivée ($ m $).</li><li>Attention : La formule est : altitude de DÉPART moins altitude d’ARRIVÉE et non pas altitude d'arrivée moins altitude de départ.</li><li>Application :$ \circ\quad $On prendra le bord de la piscine comme origine des altitudes.$ \circ\quad $Un plongeur de masse$ m = 50 ~ kg $saute d'un plongeoir de$ 5 ~ m $de hauteur pour arriver dans l'eau à une altitude de$ 0 ~ m $:$ W_{AB}(\overrightarrow{P}) = P(z_a - z_b) $$ \Leftrightarrow W_{AB}(\overrightarrow{P}) = 500 \times (5-0) = 2500 ~ J $</li></ul><h3>4. Travail d'une force de frottement constante</h3><ul><li>Le sens de la force de frottement ($ \overrightarrow{f} $) est opposé au sens du déplacement ($ AB $).</li><li>Il en résulte que$ (\widehat{\overrightarrow{f} , \overrightarrow{AB}}) = 180^o $et$ \cos(\widehat{\overrightarrow{f} , \overrightarrow{AB}}) = -1 $</li><li>Donc, sur une distance$ AB $, le travail de la force de frottement est égal à$ W_{AB}(\overrightarrow{f}) = f \times AB \times \cos(\widehat{\overrightarrow{f} , \overrightarrow{AB}}) $$ \Leftrightarrow W_{AB}(\overrightarrow{f}) = f \times AB \times -1 $$ \Leftrightarrow W_{AB}(\overrightarrow{f}) = -f \times AB $$ \circ\quadW_{AB}(\overrightarrow{f}) $: travail de la force$ \overrightarrow{f} $(en$ J $) ;$ \circ\quad-f $: opposé de l'intensité de la force$ \overrightarrow{f} $(en$ N $) ;$ \circ\quadAB $: distance de déplacement ($ m$).

5. Principe d'inertie et somme des travaux

Propriété :
Si les forces exercées sur un solide se compensent alors la somme des travaux des forces exercées sur ce solide est nulle.

_{= Merci à}_krinn_/_Skops_{pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}