Energies cinétique et potentielle, forces conservatives et théorème de l'énergie cinétique

• Après un bref rappel des notions d'énergie et de travail d'une force, cette fiche présentera les aspects énergétiques du mouvement, à savoir :

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique et le théorème de l'énergie cinétique ;

  $\circ\quad$ Les forces conservatives et l'énergie potentielle.

• $\textcolor{purple}{\text{REMARQUE IMPORTANTE}}$ : dans ces fiches, les systèmes sont assimilés à des points matériels de masse constante.

I. Rappels primordiaux à connaître

1. Notion d'énergie

• La notion d'énergie a déjà été abordée au collège :

  $\circ\quad$ L'énergie est une grandeur physique qui exprime la capacité d'un système à produire des actions.

  $\circ\quad$ L'unité internationale d'énergie est le joule ($J$).

  $\circ\quad$ L'une des principales lois de la physique est que l'énergie d'un système isolé se conserve : il n'est pas possible de créer ni de détruire (ou de perdre) de l'énergie, il est seulement possible de la transférer ou de la transformer (dans le respect des lois de la physique).

  $\circ\quad$ Au sein d'un système isolé, des transferts d'énergie peuvent se produire (mais l'énergie totale du système reste constante).

  $\circ\quad$ Un système non isolé peut échanger de l'énergie avec l'extérieur. Par abus de langage on dira parfois qu'un système "perd" ou "produit" de l'énergie, mais il faut bien garder à l'esprit que l'énergie est seulement transférée d'un système à un autre.

  $\circ\quad$ L'énergie peut prendre plusieurs formes : énergie cinétique, énergie thermique, énergie nucléaire et bien d'autres encore. La forme de l'énergie peut changer dans certaines circonstances.

• Exemples :

  $\circ\quad$ Le corps humain échange de l'énergie thermique avec l'air ambiant.

  $\circ\quad$ À l'intérieur d'un calorimètre (considéré comme un système isolé), des échanges d'énergie peuvent avoir lieu entre les corps en présence, mais l'énergie totale du calorimètre et de son contenu reste constante.

  $\circ\quad$ Une voiture qui freine transforme de l'énergie cinétique en énergie thermique.

  $\circ\quad$ Lors d'une collision, l'énergie cinétique peut provoquer des dégâts en se transformant en énergie de déformation.

• Dans la suite de cette fiche nous allons revenir sur les diverses formes d'énergie liées au mouvement :

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique (énergie de mouvement) ;

  $\circ\quad$ L'énergie potentielle (énergie de position) ;

• Remarque : l'énergie mécanique sera abordée dans la fiche suivante :

  Energie mécanique, forces non conservatives et théorème de l'énergie mécanique

2. Travail d'une force

• La notion de travail d'une force est traitée dans la fiche suivante :

Travail d'une force

• Le travail mécanique est une forme d'énergie liée notamment à l'action des forces.

• Le travail peut se transformer en d'autres formes d'énergie, par exemple :

  $\circ\quad$ En énergie cinétique (lorsqu'on pousse un caddie) ;

  $\circ\quad$ En énergie potentielle (lorsqu'on monte des escaliers) ;

  $\circ\quad$ En énergie interne (lorsqu'on comprime un gaz).

II. L'énergie cinétique

1. Notion d'énergie cinétique

• Définition :

  L'énergie cinétique est la forme d'énergie liée au mouvement d'un système : dans le cas d'un point matériel, elle est définie par la relation :

  $\boxed{E_c = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2}$

  avec :

  $\circ\quad$ $E_c$ : énergie cinétique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $m$ : masse du point matériel (en $kg$) ;

  $\circ\quad$ $v$ : vitesse du point matériel (en $m.s^{-1}$).

• Remarques :

  $\circ\quad$ Un corps immobile n'a pas d'énergie cinétique ($E_c = 0$ si $v = 0$) ;

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique (comme la vitesse) est relative au référentiel d'étude ;

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique est un scalaire (un nombre) positif ou nul ;

  $\circ\quad$ La formule est aussi valable pour un solide de masse $m$ en translation à la vitesse $\vec{v}$ ;

  $\circ\quad$ Cette formule n'est valable que si la vitesse $v$ est négligeable devant celle de la lumière dans le vide (c ≈ 300 000 km/s), ce qui est le cas sauf lors de l'étude des particules relativistes (v \gt 0,1 c).

• Exemple :

  $\circ\quad$ Une balle de tennis peut être assimilée à un point matériel de $57~g$ environ.

  $\circ\quad$ Lors d'un service à $200~km/h$ ($\approx 56~m/s$), un champion communique à la balle une énergie cinétique valant :

  $E_{c~ _{balle}} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

  $\Leftrightarrow E_{c~ _{balle}} = \dfrac{1}{2} \times 57 \cdot 10^{-3} \times 56^2$

  $\Leftrightarrow E_{c~ _{balle}} = 89 \;J$

2. Théorème de l'énergie cinétique

• Les lois du mouvement permettent de démontrer une relation très importante entre travail des forces et variation de l'énergie cinétique d'un système.

• Théorème de l'énergie cinétique :

  La variation d'énergie cinétique d'un point matériel entre les points $A$ et $B$, est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au mobile sur le trajet $\widehat{AB}$ :

  $\boxed{\Delta E_c = \dfrac{1}{2} \cdot \text{m} \cdot v_B^2-\dfrac{1}{2} \cdot \text{m} \cdot v_A^2 = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F})}$

  avec :

  $\circ\quad$ $\Delta E_c$ : variation d'énergie cinétique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $m$ : masse du point matériel (en $kg$) ;

  $\circ\quad$ $v_A$ et $v_B$ : vitesse du point matériel en $A$ et en $B$ (en $m \cdot s^{-1}$) ;

  $\circ\quad$ $\sum W_{AB}(\overrightarrow{F})$ : somme des travaux des forces sur le trajet $\widehat{AB}$.

  Ce théorème n'est toutefois valable que si le référentiel d'étude est galiléen.

• Remarques :

  $\circ\quad$ Ce théorème montre que le travail des forces peut se transformer en énergie cinétique.

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique ne dépend que de la valeur de la vitesse (= la norme du vecteur vitesse $\vec{v}$). Elle ne dépend pas de la direction ni du sens de la vitesse $\vec{v}$.

  $\circ\quad$ Ce théorème est plus simple que la loi fondamentale de la dynamique (2^e loi de Newton) : il sert à déterminer la (valeur de la) vitesse d'un système lorsque celui-ci est soumis à des forces connues.

  $\circ\quad$ Inversement, connaissant les vitesses en $A$ et en $B$ d'un système, on peut en déduire des informations sur les forces : ceci permet notamment d'évaluer les forces de frottement.

  $\circ\quad$ Le théorème peut être généralisé aux systèmes non ponctuels (les solides par exemple).

  $\circ\quad$ $A$ est appelé la position initiale, $B$ la position finale ; $v_A$ est parfois noté $v_i$ (pour vitesse initiale) et $v_B$ est parfois noté $v_f$ (pour vitesse finale).

3. Application : le caddie

A venir dans une fiche d'exercice

III. Forces conservatives et énergie potentielle

1. Définitions

• Force conservative :

  $\circ\quad$ Une force est conservative lorsque le travail effectué par cette force entre deux points $A$ et $B$ ne dépend pas du trajet suivi, mais uniquement de la position de $A$ et de $B$.

  $\circ\quad$ Dans le cas contraire, la force est dite non conservative.

• Remarques :

  $\circ\quad$ On en déduit que le travail d'une force conservative est nul si le système revient à sa position initiale ($B = A$).

  $\circ\quad$ Le terme "forces conservatives" vient du fait que de telles forces conservent (= ne modifient pas) l'énergie mécanique d'un système, comme nous allons le voir dans la suite.

• Énergie potentielle liée à une force conservative :

  $\circ\quad$ Une force conservative peut toujours être associée à une énergie potentielle, souvent notée $E_p$, qui est une forme d'énergie liée à la position relative des corps en interaction. On dit que la force dérive d'une énergie potentielle.

  $\circ\quad$ L'énergie potentielle est définie de façon à ce que le travail de la force conservative $\overrightarrow{F_c}$ entre les points $A$ et $B$, soit l'opposé de la variation d'énergie potentielle du système :

  $\boxed{W_{AB}(\overrightarrow{F_c}) = -\Delta E_{p} = E_{p}(A) - E_{p}(B)}$

• Remarque :l'intérêt de ces définitions apparaîtra plus clairement lorsque nous découvrirons l'énergie mécanique.

2. Les forces conservatives

• Parmi les forces conservatives, nous pouvons citer :

• Remarques :

  $\circ\quad$ En physique moderne, la notion d'énergie potentielle permet de modéliser un très grand nombre d'interactions, et généralise en quelque sorte la notion de force.

  $\circ\quad$ Toutes les forces ne sont pas conservatives : notamment les forces de frottement.

  $\circ\quad$ Si un système est soumis à plusieurs interactions (conservatives), il faut alors additionner les énergies potentielles correspondantes pour obtenir l'$E_p$ totale du système : par exemple une masse attachée au bout d'un ressort vertical est soumis à la pesanteur et à la force élastique du ressort et il faudra donc écrire :

  $E_{p_ ~\text{système}} = E_{pp} + E_{p _{ \text{ élastique}}}$

3. Application : le poids et l'énergie potentielle de pesanteur

• Tant que les déplacements se font dans une zone limitée à proximité de la surface terrestre, nous savons que le poids $\overrightarrow{P}$ d'un système est constant (si sa masse ne varie pas). Comme le travail d'une force constante ne dépend pas du chemin suivi, nous en déduisons que :

  $\boxed{\text{Le poids est une force conservative}}$

• Il est donc possible de lui associer une énergie potentielle dite de pesanteur, notée $E_{pp}$, et nous retrouvons un résultat déjà connu.

• Définition :

  L'énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel $M$ au voisinage de la Terre est une énergie associée à l'altitude du point $M$ dans le champ de pesanteur. Elle est donnée par la relation :

  $\boxed{E_{pp}(M) = m \cdot g \cdot (z_M - z_0)}$

  avec :

  $\circ\quad$ $E_{pp}$ : énergie potentielle de pesanteur (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $m$ : masse du point matériel (en $kg$) ;

  $\circ\quad$ $g$ : intensité de la pesanteur terrestre en $N \cdot kg^{-1}$ ;

  $\circ\quad$ $z_M$ : altitude du point M (en $m$) ;

  $\circ\quad$ $z_{0}$ : altitude de référence (en $m$) où l'énergie potentielle est nulle.

• $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION}}$ :

  $\circ\quad$ Le choix des axes est arbitraire et ne change pas les résultats physiques ;

  $\circ\quad$ Dans toute cette fiche, l'axe vertical est l'axe $(Oz)$ orienté positivement VERS LE HAUT ;

  $\circ\quad$ Si l'axe vertical était orienté positivement VERS LE BAS, il faudrait alors écrire :

  $E_{pp}(M) = - m \cdot g \cdot (z_M - z_0)$

• Remarques :

  $\circ\quad$ L'$E_{pp}$ ne dépend que de l'altitude du point $M$ dans le champ de pesanteur : elle augmente avec l'altitude mais ne varie pas si le déplacement est horizontal ;

  $\circ\quad$ L'$E_{pp}$ est déterminée par rapport à un niveau de référence $z_0$, tel que $E_{pp}(z_0) = 0$. Ce niveau peut être choisi arbitrairement. On prend souvent $z_0 = 0$ pour simplifier, comme sur la figure ci-dessus : on dit alors que l'on prend le point $O$ comme origine de l'$E_{pp}$.

  $\circ\quad$ La valeur de l'énergie potentielle n'a donc pas de sens physique puisque le niveau $z_0$ est arbitraire : seule la variation d'$E_{pp}$ a une interprétation physique (cette remarque vaut pour toutes les énergies potentielles).

  $\circ\quad$ On peut enfin vérifier la relation entre la variation d'$E_{pp}$ et le travail du poids entre $A$ et $B$. En effet :

  $\Delta E_{pp} = E_{pp}(B) - E_{pp}(A)$

  $\Leftrightarrow \Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B-z_0) - m \cdot g \cdot (z_A-z_0)$

  $\Leftrightarrow \Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B-z_A)$

  et donc

  $\boxed{W_{AB}(\overrightarrow{P}) = m \cdot g \cdot (z_A-z_B) = -\Delta E_{pp}}$

_{= Merci à krinn / Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}