Suites géométriques

Les suites géométriques sont des suites de références utilisées pour étudier les phénomènes qui évoluent à taux constant.

I) Définitions et caractérisation

Définition. Une suite u est géométrique si et seulement s’il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un × q.

Le réel q s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites géométriques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont à taux constants.

Théorème. La suite u est géométrique si et seulement s’il existe des réels q et a tels que pour tout entier naturel n :

un = a × qn

II) Propriétés

À noter

Un contre-exemple suffit. Par exemple, si $\frac{u_1}{u_0}\ne \frac{u_2}{u_1}$,

la suite u n’est pas ­géométrique.

Dans un repère du plan, toute suite géométrique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction exponentielle.

Une suite à termes non nuls u est géométrique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est indépendant de n.

Soit une suite u géométrique de raison q non nulle alors, pour tous entiers naturels n et p :

un = upqn–p

III) Somme 1 + q + … + q n

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel q ≠ 1 on a :

$1+q+\dots +q^n=\frac{1–q^{n+1}}{1–q}$

À noter

Au numérateur du membre de droite, l’exposant de q est le nombre de termes de la somme de gauche.

Application. Soit la suite u géométrique de raison q et de premier terme u0 = a et n un entier naturel non nul :

$u_0+u_1+\dots +u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Méthodes

1)  Déterminer si une suite est géométrique

On considère les suites u, v et w définies pour tout n ∈ ℕ par :

• un = (3n + 1)²

• $v_n=5\times \frac{2^{n–2}}{3^n}$

• $w_n=\frac{1}{3}(4^n–1)$

Les suites u, v et w sont-elles géométriques ?

Conseil

Pour montrer qu’une suite (xn) est géométrique, soit on montre que le ­quotient $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ est constant, soit on montre que (xn) est une fonction de n

de la forme n ↦ a × qn.

Solution

On a u0 = 1, u1 = 16 et u2 = 49, comme $\frac{u_1}{u_0}\ne \frac{u_2}{u_1}$, la suite u n’est pas géométrique.

Pour tout n ∈ ℕ, $v_n=5\times 2^n\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{3^n}$ donc $v_n=\frac{5}{4}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$. On en déduit

que la suite v est géométrique de premier terme $v_0=\frac{5}{4}$ et de raison $q=\frac{2}{3}$.

On a w0 = 0 et w1 = 1, quelque soit le réel q, donc w1 ≠ q × w0 donc la suite w n’est pas géométrique.

2)  Déterminer un terme ou la raison d’une suite géométrique

a. Soit la suite géométrique u de raison – 3 telle que u3 = 2. Que vaut u5 ?

b. Soit une suite géométrique v telle que v4 = 3 et v6 = 15. Quelle est sa raison q ?

Conseil

On sait que pour une suite géométrique x de raison q, $\frac{x_m}{x_n}=q^{m–n}$.

Solution

a. On a u5 = u3 × (–3)² donc u5 = 18.

b. On a $\frac{v_6}{v_4}=q^2$ donc q² = 5 puis $q=–\sqrt{5}$ ou $q=\sqrt{5}$.

Remarque : Il ne suffit pas toujours de connaître deux termes d’une suite géométrique pour en connaître la raison.