Suites arithmétiques - Mathématiques - Première générale

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Les suites arithmétiques sont les plus simples à définir et à ­étudier. La somme de termes consécutifs de telles suites s’exprime ­explicitement en fonction des caractéristiques de ces suites.

I) Définitions et caractérisation

Définition. Une suite u est arithmétique si et seulement s’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un + r.

Le réel r s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites arithmétiques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont constants.

Théorème. La suite u est arithmétique si et seulement s’il existe des réels r et a tels que pour tout entier naturel n :

un = a + n × r

II) Propriétés

À noter

Pour montrer qu’une suite u n’est pas arithmétique, il suffit d’un contre-exemple comme u1 – u0  u2 – u1.

Dans un repère du plan, toute suite arithmétique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction affine (une droite), les points sont donc alignés.

Une suite u est arithmétique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, un + 1 – un est indépendant de n.

Soit une suite u arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p :

un – up = (n – p)r.

III) Somme 1 + 2 + … + n

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n, on a :

1+2++n=n(n+1)2 

À noter

Cette somme contient n + 1 termes.

Application. Soit la suite u arithmétique de raison r et de ­premier terme u0 = a et n un entier naturel non nul :

u0+u1+ un=(n+1)a+n(n+1)2r=(n+1)×u0+un2

Méthodes

1)  Déterminer si une suite est arithmétique

On considère les suites u, v, w et t définies pour tout n ∈ ℕ par :

un = n4 – 6n3 + 11n2 – 5n

w0 = 2 et 3wn + 1 = 3wn – 8

vn=5+3n2

t0 = 0 et tn + 1 = tn + n + 1


a. Calculer u0, u1, u2 et u3. La suite u est-elle arithmétique ?


b. Les suites v, w et t sont elles arithmétiques ?

Conseil

Pour montrer qu’une suite (xn) est arithmétique, soit on montre que la différence xn + 1 – xn est constante, soit on montre que xn est une fonction affine de n


Solution

a. On a u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2 et u3 = 3. Mais u4 4 donc la suite u n’est pas arithmétique.

Remarque : La connaissance des premiers termes ne suffit pas pour établir la nature de la suite.


b. Pour tout n ∈ ℕ, vn=52+32n, donc par application immédiate d’un théorème du cours, la suite v est arithmétique de premier terme v0=52 et de raison r=32.

Pour tout n ∈ ℕ, 3wn + 1 = 3wn – 8 donc wn+1=wn83. Par définition, la suite w est arithmétique de raison r=83.

On a t1 – t0 = 1 et t2 – t1 = 2 donc la suite t n’est pas arithmétique.

2)  Déterminer un terme ou la raison d’une suite arithmétique


a. Soit la suite arithmétique u de raison – 2 telle que u5 = 7. Que vaut u10 ?


b. Soit la suite arithmétique v telle que v7 = 7 et v10 = 0. Quelle est sa raison r ?

Conseil

On sait que pour une suite arithmétique x de raison r, xm – xn = (m – n) × r.


Solution

a. On a u10 – u5 = (10 – 5) × (–2) soit u10 = u5 + 5 × (–2) donc u10 = –3.


b. On a v10 – v7 = (0 – 7) × r = 3 × r, soit 3 × r = – 7 donc r=73.