Suites arithmétiques - Mathématiques - Première générale

Les suites arithmétiques sont les plus simples à définir et à ­étudier. La somme de termes consécutifs de telles suites s’exprime ­explicitement en fonction des caractéristiques de ces suites.

I) Définitions et caractérisation

Définition. Une suite u est arithmétique si et seulement s’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un + r.

Le réel r s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites arithmétiques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont constants.

Théorème. La suite u est arithmétique si et seulement s’il existe des réels r et a tels que pour tout entier naturel n :

un = a + n × r

II) Propriétés

À noter

Pour montrer qu’une suite u n’est pas arithmétique, il suffit d’un contre-exemple comme u1 – u0 ≠ u2 – u1.

Dans un repère du plan, toute suite arithmétique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction affine (une droite), les points sont donc alignés.

Une suite u est arithmétique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, un + 1 – un est indépendant de n.

Soit une suite u arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p :

un – up = (n – p)r.

III) Somme 1 + 2 + … + n

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n, on a :

$1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

À noter

Cette somme contient n + 1 termes.

Application. Soit la suite u arithmétique de raison r et de ­premier terme u0 = a et n un entier naturel non nul :

$u_0+u_1+\dots u_n=(n+1)a+\frac{n(n+1)}{2}r=(n+1)\times \frac{u_0+u_n}{2}$

Méthodes

1)  Déterminer si une suite est arithmétique

On considère les suites u, v, w et t définies pour tout n ∈ ℕ par :

• un = n⁴ – 6n³ + 11n² – 5n

• w0 = 2 et 3wn + 1 = 3wn – 8

• $v_n=\frac{5+3n}{2}$

• t0 = 0 et tn + 1 = tn + n + 1

a. Calculer u0, u1, u2 et u3. La suite u est-elle arithmétique ?

b. Les suites v, w et t sont elles arithmétiques ?

Conseil

Pour montrer qu’une suite (xn) est arithmétique, soit on montre que la différence xn + 1 – xn est constante, soit on montre que xn est une fonction affine de n

Solution

a. On a u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2 et u3 = 3. Mais u4 ≠ 4 donc la suite u n’est pas arithmétique.

Remarque : La connaissance des premiers termes ne suffit pas pour établir la nature de la suite.

b. Pour tout n ∈ ℕ, $v_n=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}n$, donc par application immédiate d’un théorème du cours, la suite v est arithmétique de premier terme $v_0=\frac{5}{2}$ et de raison $r=\frac{3}{2}$.

Pour tout n ∈ ℕ, 3wn + 1 = 3wn – 8 donc $w_{n+1}=w_n–\frac{8}{3}$. Par définition, la suite w est arithmétique de raison $r=–\frac{8}{3}$.

On a t1 – t0 = 1 et t2 – t1 = 2 donc la suite t n’est pas arithmétique.

2)  Déterminer un terme ou la raison d’une suite arithmétique

a. Soit la suite arithmétique u de raison – 2 telle que u5 = 7. Que vaut u10 ?

b. Soit la suite arithmétique v telle que v7 = 7 et v10 = 0. Quelle est sa raison r ?

Conseil

On sait que pour une suite arithmétique x de raison r, xm – xn = (m – n) × r.

Solution

a. On a u10 – u5 = (10 – 5) × (–2) soit u10 = u5 + 5 × (–2) donc u10 = –3.

b. On a v10 – v7 = (0 – 7) × r = 3 × r, soit 3 × r = – 7 donc $r=–\frac{7}{3}$.