Généralités sur les suites

Une suite de nombres peut être définie de bien des manières, explicites ou implicites, par des formules, des algorithmes ou des propriétés caractéristiques. Comme pour les fonctions, on peut en étudier les variations.

I) Définitions et modes de génération

Définition. Soit n0 un entier naturel. Une suite numérique définie à partir du rang n0 est une fonction à valeurs réelles définie pour tout entier n, n ⩾ n0. On note parfois cette suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$.

À noter

Le premier terme d’une suite est le terme de rang n0 (qui est généralement 0 ou 1).

L’image d’un entier naturel n par une suite u est notée un ou u(n) : c’est le terme général de la suite ou encore son terme de rang n.

On peut définir une suite par une propriété caractéristique : la suite des entiers pairs, des décimales de π…

Soit f une fonction définie sur une partie E de ℕ. On peut définir explicitement une suite u par un = f(n) pour tout n ∈ E.

Une suite peut être définie par récurrence : la donnée de son ou ses premiers termes et de l’expression de chacun de ses termes en fonction de celui ou de ceux qui le précèdent.

Un algorithme comportant une boucle permet de calculer les termes d’une suite.

II) Représentation graphique et variations

Soit un entier naturel n0 et soit une suite u définie à partir du rang n0.

Dans un repère du plan, la représentation graphique de la suite u est l’ensemble des points de coordonnées (n ; un) pour tout entier n ⩾ n0.

Une suite u est croissante (respectivement décroissante) à partir du rang n0 si et seulement si pour tout entier naturel n ⩾ n0, un + 1 ⩾ un (respectivement un + 1 ⩽ un).

On dit qu’une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

À noter

On définit les suites strictement monotones à l’aide d’inégalités strictes.

Méthodes

1)  Déterminer certains termes d’une suite et les représenter

Déterminer et représenter les trois premiers termes des suites u, v et w suivantes :

a. pour tout n ⩾ 2, $u_n=\frac{6}{n(n–1)}$ ;

b. v0 = 0 et, pour tout n ⩾ 0, vn + 1 = 2vn – 1 ;

b. w est définie par l’algorithme ci-contre.

Conseil

Pour une suite définie explicitement, on calcule les termes demandés en remplaçant n par la valeur appropriée. Pour une suite définie par récurrence, on utilise pour chaque calcul le terme donné ou calculé précédemment.

Solution

a. On a $u_2=\frac{6}{2\times (2–1)}$, $u_3=\frac{6}{3\times 2 }$ et $u_4=\frac{6}{4\times 3}$, soit :

u2 = 3, u3 = 1 et $u_4=\frac{1}{2}$.

À noter

La suite w est périodique : elle vaut alternativement – 1 et 0.

b. On a v0 = 0, v1 = 2v0 – 1, soit v1 = – 1, puis v2 = 2v1 – 1, soit v2 = 2 × (–1) – 1 d’où v2 = – 3.

c. On a w0 = – 1, $w_1=w_0^2–1$, soit w1 = 0 et $w_2=w_1^2–1$ soit w2 = – 1.

2)  Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sens de variation de la suite définie pour tout n ∈ ℕ^* par $u_n=n+\frac{1}{n}$.

Conseil

Pour exprimer un + 1, on remplace dans l’expression de un chaque occurrence de n par n + 1. Pour les variations de u, on détermine le signe de un + 1 – un.

Solution

On a pour tout n ∈ ℕ^*, $u_{n+1}=n+1+\frac{1}{n+1}$.

On a pour tout n ∈ ℕ^*:

$u_{n+1}–u_{n}$

$= n+1+\frac{1}{n+1}–(n+\frac{1}{n})$

$=\frac{n(n + 1) + n – (n + 1)}{n(n+1)}$

$=\frac{n^{2}+n–1}{n(n+1)}$

À noter

On peut étudier le signe de la fonction x x² + x – 1.

Or, si n ⩾ 1 alors n² + n ⩾ 2 donc n² + n – 1 > 0 et un + 1 – un > 0 : la suite (un) est donc strictement croissante.