La plupart des suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques. On utilise parfois une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique pour étudier des suites quelconques. C’est le cas pour les suites arithmético-géométriques qui peuvent modéliser l’évolution d’une population.

I) Définition

Soient a et b deux réels et (u_n) une suite telle que pour tout entier naturel n :

$u_{n + 1} = a u_{n} + b$

Si a est différent de 0 et de 1, et si b est différent de 0, on dit que la suite (u_n) est arithmético-géométrique.

À noter
On peut remarquer que si a = 1, la suite est arithmétique et que si b = 0, la suite est géométrique ; enfin, si a = 0, la suite est constante à partir du rang 1.

II) Solution particulière constante

Théorème :

Soient a et b deux réels, a ≠ 1. Il existe une unique suite constante (c_n) telle que pour tout entier naturel n, $c_{n + 1} = a c_{n} + b$ ; elle vérifie, pour tout entier naturel n, $c_{n} = \frac{b}{1 - a}$ .

III) Utilisation de la suite auxiliaire constante

Soient a et b deux réels et (u_n) une suite arithmético-géométrique, telle que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ .

Théorème : La suite définie, pour tout entier naturel n, par $v_{n} = u_{n} - \frac{b}{1 - a}$ est une suite géométrique de raison a.

Conséquences :

Pour tout entier naturel n, $v_{n} = v_{0} a^{n}$ avec $v_{0} = u_{0} - \frac{b}{1 - a}$ .

Pour tout entier naturel n, $u_{n} = v_{0} a^{n} + \frac{b}{1 - a}$ .

Si $0 ⩽ a < 1$ alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \frac{b}{1 - a}$ .

Remarque : Si la suite (u_n) est définie à partir du rang 1, on a pour tout entier naturel n non nul, $v_{n} = v_{1} a^{n - 1}$ avec $v_{1} = u_{1} - \frac{b}{1 - a}$ et $u_{n} = v_{1} a^{n - 1} + \frac{b}{1 - a}$ .

Méthodes

1) Déterminer une solution constante

On considère la suite (u_n) définie pour tout $n \in ℕ$ par :

_{$(\begin{matrix} u_{0} = 1 \\ u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2 \end{matrix})$}

Déterminer une suite constante vérifiant la même relation de récurrence que la suite (u_n).

Conseil
Il suffit de résoudre l’équation $x = 3 x + 2$ .

2) Utiliser une suite auxiliaire constante

On considère la suite (u_n) définie pour tout $n \in ℕ$ par :

_{$(\begin{matrix} u_{0} = 1 \\ u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2 \end{matrix})$}

a. Montrer que la suite de terme général $v_{n} = u_{n} + 1$ est géométrique. En donner le premier terme et la raison.

b. En déduire, pour tout entier naturel n, les expressions de v_n puis de u_n en fonction de n.

Conseils
Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique, exprimez v_n₊₁ en fonction de u_n₊₁ ; déduisez-en v_n₊₁ en fonction de u_n ; concluez en factorisant par 3. On rappelle pour la fin de la question qu’une suite géométrique de raison k a pour terme général $v_{0} \times k^{n}$ et on remarque que $u_{n} = v_{n} - 1$ .

Solution

a. Pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n + 1} = u_{n + 1} + 1 = 3 u_{n} + 2 + 1 = 3 (u_{n} + 1) = 3 v_{n}$ .

Ainsi, la suite (v_n) est géométrique de raison 3, de premier terme $u_{0} + 1 = 2$ .

b. Pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n} = 2 \times 3^{n}$ .

Pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n} = u_{n} + 1$ d’où $u_{n} = v_{n} - 1$ soit $u_{n} = 2 \times 3^{n} - 1$ .

Suites arithmético-géométriques