Suite définie par récurrence

I. Définition

Avec les suites définies par récurrence, on ne peut pas directement calculer un terme à partir de son indice. Il faut procéder de proche en proche : « pour calculer le deuxième, j’ai besoin du premier, etc. »

$\circ\quad$Le terme initial est donné.

$\circ\quad$$u_{n+1}$ est exprimé en fonction de $u_n$ : $u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemple : Soit $(u_n)$ la suite définie par :
$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac 12 u_n + 3$.

On obtient : $u_1=\dfrac 12\times 2+3=4$ ; $u_2=\dfrac 12 u_1+3=\dfrac 12 \times 4+3=5$ et ainsi de proche en proche.

Remarque : on peut aussi définir des suites récurrentes à partir de deux termes initiaux. Exemple : $\forall n\in \mathbb N, u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$. Ce type de suite implique que l'on donne les deux premiers termes initiaux afin de pouvoir la générer.

II. Représentation graphique

Étapes de construction :

$\circ\quad$ Tracer la courbe représentant la fonction $f$ définie par :

$f(x) = \dfrac{1}{2} x + 3$

$\circ\quad$ Tracer la droite d’équation $y = x$

$\circ\quad$ Placer $u_0$

$\circ\quad$ Placer $f(u_0) = u_1$

$\circ\quad$ Utiliser la droite d’équation $y = x$ pour placer $u_1$ sur l’axe des abscisses et recommencer ensuite pour $f(u_1)$.