Somme et produit des racines

La somme et le produit des racines éventuelles d’une fonction polynôme de degré deux s’expriment simplement en fonction de ses coefficients. Cette propriété permet parfois de déterminer aisément la valeur d’une ou plusieurs racines.

I) Expression de la somme et du produit des racines

Soit trois réels a, b et c avec a ≠ 0 et soit la fonction polynôme du second degré P définie pour tout réel x par P(x) = ax² + bx + c.

À noter

Ces relations sont encore vérifiées si P admet une unique racine x0, en prenant x1 = x2 = x0.

On suppose que P admet deux racines distinctes x1 et x2.

• Somme des racines de P :

$x_1+x_2=–\frac{b}{a}$

• Produit des racines de P :

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Théorème.

À noter

Si s² – 4p = 0, les réels u et v sont égaux.

Soit s et p deux réels. Il existe deux réels u et v tels que u + v = s et u × v = p si, et seulement si

s² – 4p ⩾ 0

.

Dans ce cas, les réels u et v sont les solutions de l’équation :

x² – sx + p = 0

II) Fonction polynôme du second degré de racines données

Soit P une fonction polynôme du second degré dont on connaît les deux racines u et v. Notons s et p la somme et le produit de ces racines : s = u + v et p = uv.

Alors il existe un réel a non nul tel que pour tout réel x :

P(x) = a(x² – sx + p)

Remarque : Ceci permet de vérifier les solutions trouvées lors de la résolution d’une équation du second degré.

À noter

Le réel a est bien sûr le coefficient dominant de P.

Méthode

1)  Résoudre des équations du second degré dont une solution est évidente

Résoudre l’équation – x² + 4x + 5 = 0 après en avoir déterminé une solution « évidente ».

Conseil

• Pour trouver une solution « évidente » autre que zéro, on teste les valeurs entières 1 et –1 puis 2 et –2…

• On utilise ensuite la valeur du produit ou de la somme des racines pour déterminer l’autre racine.

Solution

L’équation admet pour solution x1 = –1 car –(–1)² + 4(–1) + 5 = 0.

À noter

Cette méthode est plus rapide et moins source d’erreur qu’avec le discriminant.

L’autre solution x2 vérifie $–1\times x_2=\frac{5}{–1}$ (ici, a = –1 et c = 5) donc x2 = 5.

On en déduit également que pour tout réel x :

– x² + 4x + 5 = –(x + 1)(x – 5).

2)  Déterminer deux réels dont la somme et le produit sont donnés

Résoudre les systèmes suivants :

(1) $\{\begin{array}{c}x+y=30\\ xy=200\end{array}$ et (2) $\{\begin{array}{c}x+y=2\\ xy=2\end{array}$

Conseil

Pour un tel système, on résout d’abord l’équation X² – sX + p = 0.

Si cette dernière a deux solutions distinctes u et v, on obtient deux couples solutions pour le système : (u, v) et (v, u). Si elle a une unique solution u, le système a pour solution (u, u). Sinon le système n’a pas de solution.

Solution

Les couples (x,y) solutions du système (1) sont tels quex ety sont solutions de l’équationX² – 30X + 200 = 0 qui admet pour discriminant Δ = 30² – 4 × 200, soit Δ = 100. Elle admet donc deux solutions $X_1=\frac{30+10}{2}=20$ et $X_2=\frac{30–10}{2}=10$.

Ainsi, le système (1) admet pour solutions les couples (10, 20) et (20, 10).

Pour le système (2), l’équationX² – 2X + 2 = 0 a pour discriminant Δ = –4. Le système n’admet donc pas de solution.

Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 5 à 7.