Forme canonique, factorisation, racines et signe

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La forme canonique permet de factoriser toute fonction polynôme du second degré puis de résoudre systématiquement toute équation du second degré.

I) Forme canonique et racines

Soit trois réels a, b et c avec a ≠ 0 et soit la fonction polynôme du second degré P définie pour tout réel x par P(x) = ax2 + bx + c.

La forme canonique de P(x) s’écrit, pour tout x ∈ ℝ :

P(x)=a((x+b2a)2–b2–4ac4a2).

Le réel Δ = b2 – 4ac est appelé discriminant de P ou discriminant de l’équation ax2 + bx + c = 0.

 

Racines de P

Factorisation de P

Δ < 0

aucune

aucune

Δ = 0

x0=–b2a

P(x)=a(x+b2a)2

Δ > 0

x1=–b–Δ2a et

x2=–b+Δ2a

P(x)=a((x+b2a)–Δ2a)((x+b2a)+Δ2a)

II) Signe d’une fonction polynôme du second degré

Règle générale : toute fonction polynôme du second degré est du signe de son coefficient dominant sauf éventuellement entre ses racines.

Plus précisément, soit P est une fonction polynôme de coefficient dominant le réel non nul a et de discriminant Δ.

• Si Δ < 0 alors pour tout réel x, P(x) est du signe de a.

• Si Δ = 0 et si x0 est l’unique racine de P alors pour tout réel x, P(x) = a(x x0)2 et P(x) est du signe de a.

À noter

Il ne faut pas confondre le signe du discriminant et le signe de la fonction polynôme.

• Si Δ > 0 et si x1 et x2 sont les racines de P avec x1 < x2 alors pour tout réel x, P(x) = a(x x1)(x – x2).

Si x ∈ ]–∞ ; x1[ ∪ ]x2 ; +∞[ alors P(x) est du signe de a et si x ∈ ]x1 ; x2[ P(x) est du signe de –a.

Méthode

1)  Résoudre des équations du second degré

Résoudre les équations suivantes.


a. –6x2 + x + 1 = 0


b. 5x2 – 6x + 2 = 0


c. 
2x2+2x+12=0

Repère
Conseils

• Lorsque la factorisation n’est pas évidente, on calcule le discriminant.

• On déduit du signe du discriminant l’existence et le nombre de solutions, puis on calcule leurs valeurs.

solution


a. L’équation admet pour discriminant Δ1 = 12 – 4 × (–6) × 1, soit Δ1 = 25 et Δ1 > 0.

L’équation admet donc deux solutions réelles distinctes :

x1=–1–252×(–6) et x2=–1+252×(–6) soit x1=12 et x2=–13.


b. L’équation admet pour discriminant Δ2 = (–6)2 – 4 × 5 × 2, soit Δ2 = –4 et Δ2 < 0. L’équation n’admet pas de solution réelle.


c. L’équation admet pour discriminant Δ3=22–4×2×12=0.

L’équation admet pour unique solution x0=–22×2 soit x0=–12.

2 Factoriser des polynômes du second degré

Factoriser si possible les fonctions polynômes suivantes en produit de fonctions affines.


a. P(x) = – x2 + 2x + 3  
b. 
Q(x)=13x2–13x+112
  c. R(x) = –3x2 + 2x – 1

Conseil

On détermine tout d’abord comme ci-dessus les racines éventuelles des polynômes du second degré, pour ensuite les factoriser.

 

Solution

À noter

Il n’y a pas unicité de la factorisation : pour tout x ∈ ℝ, P(x) = (– x – 1)(x – 3) = (x + 1)(3 – x).


a. P admet pour discriminant 16 et pour racines –1 et 3, donc pour tout réel x :

P(x) = –(x + 1)(x – 3).


b. Q admet pour discriminant 0 et pour unique racine 12 , donc pour tout réel x, Q(x)=13(x–12)2.


c. R admet pour discriminant –8 et n’est pas factorisable dans ℝ en produit de fonctions affines.