Somme des termes d’une suite géométrique et application aux intérêts composés

I. Rappel de la formule de somme

Si $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q \neq 1$, la somme des $n$ premiers termes est :

$S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

Exemple 1

$u_0 = 3$, $q = 2$, on veut $S_5$

$S_5 = 3 \times \dfrac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \times \dfrac{1 - 32}{-1} = 3 \times 31 = 93$

Exemple 2

$u_0 = 1000$, $q = 1{,}05$, on cherche $S_4$

$S_4 = 1000 \times \dfrac{1 - 1{,}05^4}{1 - 1{,}05}$

$1{,}05^4 \approx 1{,}2155$

$S_4 = 1000 \times \dfrac{1 - 1{,}2155}{-0{,}05} = 1000 \times \dfrac{-0{,}2155}{-0{,}05} \approx 4310$

II. Reconnaître une situation géométrique

On utilise cette somme quand :

• chaque terme est multiplié par une constante

• on accumule ces valeurs au fil du temps

• les effets sont exponentiels (non réguliers)

Exemples concrets

• Cumul d’intérêts d’un placement bancaire

• Cumul de doses (ex : médicament, pollution)

• Cumul d’effets en croissance rapide

III. Application aux intérêts composés avec versements réguliers

Supposons :

• un versement de $V$ euros chaque année

• placé à un taux d’intérêt $t$ constant

• pendant $n$ années

Le total capitalisé au bout de $n$ années est la somme :

$S_n = V \times \dfrac{1 - (1 + t)^n}{1 - (1 + t)}$

Ce qui revient à :

$S_n = V \times \dfrac{(1 + t)^n - 1}{t}$

Exemple 3 – Versements réguliers

Tu verses 100 € chaque année sur un compte rémunéré à 3 % (soit $t = 0{,}03$) pendant 5 ans.

$S_5 = 100 \times \dfrac{(1{,}03)^5 - 1}{0{,}03}$

$1{,}03^5 \approx 1{,}159$

$S_5 \approx 100 \times \dfrac{1{,}159 - 1}{0{,}03} = 100 \times \dfrac{0{,}159}{0{,}03} \approx 530$

✅ Tu auras environ 530 € au bout de 5 ans.

Exemple 4 – Épargne mensuelle

Tu mets 50 € chaque mois sur un livret à 1 % par mois pendant 12 mois.

$t = 0{,}01$, $n = 12$

$S_{12} = 50 \times \dfrac{(1{,}01)^{12} - 1}{0{,}01}$

$1{,}01^{12} \approx 1{,}1275$

$S_{12} \approx 50 \times \dfrac{0{,}1275}{0{,}01} = 50 \times 12{,}75 = 637{,}50$

IV. Astuce : interprétation graphique

Cette situation modélise une accumulation accélérée : la courbe n’est pas une droite, mais une courbe de plus en plus raide.

V. Utilisation de la notation $\Sigma$

On peut noter cette somme :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} V \times (1 + t)^k = V \times \dfrac{(1 + t)^n - 1}{t}$