Résoudre une inéquation et écrire son ensemble solution

I. Définition

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs dont l'inconnue vérifie l'inégalité.

II. Exemples

1. Résoudre l'inéquation $4x \lt 6$

$4 \times 2 = 8$ et $8 \gt 6$, donc $2$ ne vérifie pas l'inégalité.

Tu pourrais procéder par tests successifs, mais cela ne peut pas t' assurer que tu as trouvé toutes les valeurs possibles.

Tu vas donc utiliser tes connaissances sur le inégalités pour transformer l'expression proposée.

Tu désires trouver toutes les valeurs de $x$ pour que $4x \lt 6$ soit vérifiée.

Ici, tu isoles $x$ dans le premier membre en "neutralisant" le 4 : tu peux diviser par $4$, valeur strictement positive, sans changer le sens de l'inégalité.

$x \lt \dfrac{6}{4}$ donc $x \lt \dfrac{3}{2}$

On peut représenter graphiquement ces solutions :

Ici : la partie hachurée correspond aux solutions.

et on peut écrire que l'ensemble solution $S$ de cette inéquation est égal à l'intervalle $\left]-\infty\,; \dfrac 32\right[$ et on écrit : $\boxed{S=\left]-\infty\,; \dfrac 32\right[}$

Résoudre l'inéquation $-3y + 1 \le 16$

On isole d'abord $-3y$ en "neutralisant" $+1$, tu retranches $1$ aux deux membres

$-3y + 1 - 1 \le 16 - 1$ donc $-3y \le 15$

On isole ensuite $y$ en "neutralisant" $-3$ : tu divises les deux membres par $-3$

⚠️ $-3 < 0$, n'oublie pas de changer le sens de ton inégalité !

$\dfrac{-3y}{-3} \ge \dfrac{15}{-3}$ soit $y \ge -5$.

La partie hachurée correspond aux solutions.

et on peut écrire que l'ensemble solution $S$ de cette inéquation est égal à l'intervalle $\left[-5\,; +\infty\right[$ et on écrit : $\boxed{S=\left[-5\,; +\infty\right[}$

III. Une alternative

👉 Tu as peur d'oublier d'utiliser la règle du changement de signe de l'inégalité, lorsque tu multiplies ou divises ton inégalité par une quantité strictement négative ?

Reprenons l'exemple précédent.

Résoudre l'inéquation $-3y + 1 \leq 16$.

Positionne l'inconnue dans le membre où son coefficient sera positif !

$\begin{array}{rcll}-3y + 1 & \leq & 16 & {\small\text{: j’ajoute } 3y} \\ & & & {\small\text{aux deux membres}} \\[2pt]-3y + 1 + 3y & \leq & 16 + 3y & {\small\text{: je réduis}} \\[2pt]1 & \leq & 16 + 3y & {\small\text{: je retranche } 16} \\ & & & {\small\text{aux deux membres}} \\[2pt]1 - 16 & \leq & 3y & {\small \text{: je réduis}} \\[2pt]-15 & \leq & 3y & {\small\text{: je divise par } 3 > 0} \\ & & &{\small\text{donc je garde le sens}} \\[2pt]-5 & \leq & y &\end{array}$

Ce que tu lis : $-5$ est inférieur ou égal à $y$, mais également en partant de la droite : $y$ est supérieur ou égal à $5$. $\boxed{y \geq -5}$

On retrouve bien le même résultat, et à aucun moment tu n'as multiplié ou divisé par un nombre négatif !