Résoudre une équation et son ensemble solution

I. Définition : une équation c'est quoi ?

Une équation est une égalité de deux expressions littérales.

Exemple :
$2x-3=5$ est une équation.

Les membres de l'équation sont les expressions littérales avant et après le signe égal (=).

Dans l'exemple précédent, le premier membre est $2x-3$ et le second membre est 5.

Une équation est à une inconnue si les expressions littérales ne contiennent qu'une lettre différente.

Exemple :
L'équation précédente a une inconnue notée x.
L'équation $2x-3=-7y+2$ a deux inconnues x et y.

II. Solution d'une équation

Définition

Un nombre est solution de l'équation à une inconnue si c'est une valeur de l'inconnue qui vérifie l'égalité.

Exemple : reprenons l'équation $2x-3=5$
L'expression $2x-3$ pour $x = 1$ s'écrit : $2 × 1 - 3 = -1$.
$1$ n'est donc pas solution de $2x-3=5$.

L'expression $2x-3$ pour $x = 4$ s'écrit $2 × 4 - 3 = 8 - 3 = 5$.
$4$ est une solution de $2x-3=5$.

III. Résoudre une équation

Définition

Résoudre une équation, c'est trouver tous les nombres qui sont solutions de l'équation.

Dans l'exemple $2x-3=5$ la lettre $x$ n'a pas de puissance.
On dit que l'équation est du premier degré.
L'équation $x^2+x-3=5$ a une puissance 2, elle est du second degré.

IV. Propriétés permettant de résoudre une équation

Si on ajoute ou si on soustrait le même nombre ou la même expression aux deux membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.

Avec a, b, c nombres relatifs :
Si $a = b$, alors $a + c = b + c$.
Si $a = b$, alors $a - c = b - c$.

Si on multiplie ou si on divise les deux membres d'une équation par le même nombre non nul, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.

Avec a, b, c nombres relatifs et $c \neq 0$ :
Si $a = b$, alors $a c = b c$.
Si $a = b$, alors $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$.

Exemple :
On veut résoudre l'équation $4x+3=x-9$.

a) Retirons $x$ aux deux membres de l'équation :
$4x+3-x=x-9-x$.

On réduit les deux membres, on obtient la nouvelle équation :
$3x+3=-9$.

b) Retirons 3 aux deux membres de l'équation :
$3x+3-3=-9-3$.

c) Simplifions chaque membre :
$3x=-12$.

d) Divisons par 3 les deux membres de l'équation :
$\dfrac{3x}{3}=\dfrac{-12}{3}$.

$x=-4$.

Conclusion : l'équation $4x+3=x-9$ a pour solution $x=-4$.

V. Ensemble solution d'une équation

L’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’équation, c’est-à-dire qui rendent l’égalité vraie. Résoudre une équation revient donc à trouver cet ensemble.

Dans l'exemple précédent, on va écrire que l'ensemble solution $S$ est égal à :

L’ensemble solution est donc $S=\left\lbrace -4 \right\rbrace$, car $-4$ est la seule valeur qui rend l’égalité vraie.

Remarque : un ensemble s'écrit entre accolades.