Représentation et variation d'un vecteur vitesse

Le but de cette fiche est de préciser la notion de vitesse, déjà abordée au collège, tout en la représentant à l'aide de vecteurs.

I. Rappels de cinématique

• Définition :

  La vitesse est une grandeur qui indique la variation de la position d'un système en fonction du temps. La vitesse est une grandeur relative au référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement.

• Exemple : une personne qui est assise sur un banc est immobile par rapport à la terre (sa vitesse est donc nulle) mais "fonce" à environ $100~000~\text{km/h}$ par rapport au Soleil.

• Définition :

  La vitesse moyenne $v_{moy}$ d'un mobile lors d'un trajet est égale à la distance parcourue $d$ divisée par la durée du trajet $\Delta t$ :

  $\boxed{v_{moy} = \dfrac{d}{\Delta t}}$

• Exemple : une voiture effectuant le trajet Paris-Strasbourg ($d = 500 ~\text{km}$) en $\Delta t = 5 ~ h$ a une vitesse moyenne :

  $v_{moy} = \dfrac{500}{5} = 100 ~ \text{km.h}^{-1}$

• Définition :

  La vitesse instantanée d'un mobile est la vitesse de ce mobile à un instant précis : elle peut être définie comme la vitesse moyenne du mobile sur une durée infinitésimale (c'est-à-dire devenant infiniment courte), notée $\delta t$, autour de l'instant considéré :

  $\boxed{v = \dfrac{d}{\delta t}}$

• Remarques :

  $\circ\quad$ C'est approximativement la vitesse que l'on peut lire à tout instant sur le tableau de bord d'une voiture ;

  $\circ\quad$ La vitesse instantanée d'un mobile peut varier d'un instant à l'autre, comme au démarrage d'un véhicule par exemple.

II. Notion de vecteur vitesse

• Pour définir le mouvement d'un mobile, indiquer la valeur de sa vitesse ne suffit pas : une voiture qui roule à 100 km/h peut changer de direction lors de son mouvement.

• Pour caractériser entièrement la vitesse instantanée d'un point mobile $M$, il faut définir un vecteur appelé "vecteur vitesse du mobile" et souvent noté $\overrightarrow{v}(t)$ ou encore $\overrightarrow{v}_M(t)$.

• Définition :

  Le vecteur vitesse instantanée d'un mobile en un point $M$ de sa trajectoire est défini par :

  $\circ\quad$ Sa direction : celle de la tangente à la trajectoire en $M$ ;

  $\circ\quad$ Son sens : celui du mouvement ;

  $\circ\quad$ Son module (ou norme) : valeur de la vitesse à l'instant $t$ où le mobile est en $M$ ;

  $\circ\quad$ Son origine (ou point d'application) : le point $M$ (parfois noté $M(t)$ pour préciser l'instant $t$).

• Illustration : la figure suivante montre comment représenter la vitesse instantanée d'un mobile $M$ à différents instants sous la forme de vecteurs :

  

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v}_2$ représente la vitesse du mobile en $M_2$ (à l'instant $t_2$) ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v}_4$ la vitesse du mobile en $M_4$ (à l'instant $t_4$) ;

  $\circ\quad$ Et ainsi de suite ...

• Remarque : le vecteur vitesse est orienté dans le sens du mouvement et qu'il est toujours tangent à la courbe (= la trajectoire) suivie par le mobile.

III. Déterminer une vitesse instantanée

• Certains dispositifs, comme la chronophotographie ou les mobiles autoporteurs, permettent d'étudier le mouvement en enregistrant la position d'un mobile à intervalles de temps réguliers (par exemple tous les $\text{1/10}^{\text{e}}$ de seconde).

• Illustration : la figure suivante montre un exemple d'enregistrement du mouvement qui permet de déterminer la vitesse instantanée du mobile en certains points, comme $M_3$ par exemple :

  

  $\circ\quad$ Imaginons que sur cette figure :

  $\Longrightarrow$ L'intervalle de temps séparant chaque point soit : $\delta t = 0,1 ~ \text{s}$ ;

  $\Longrightarrow$ L'échelle de vitesse soit : $1 ~ \text{cm} \leftrightarrow 0,1 ~ \text{m/s}$ ;

  $\Longrightarrow$ Le sens du mouvement soit : $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$.

  $\circ\quad$ Nous allons estimer graphiquement la vitesse instantanée du mobile en $M_3$ de la manière suivante :

  $\textcolor{purple}{\text{Étape 1}}$ : on évalue la vitesse moyenne entre les points précédent et suivant (c'est-à-dire $M_2$ et $M_4$) :

  $\Longrightarrow$ En mesurant la distance $M_2M_4$ sur la figure, par exemple ici : $M_2M_4 = 4 ~ \text{cm}$

  $\Longrightarrow$ Puis en calculant la vitesse moyenne :

  $\boxed{v_{moy} = \dfrac{M_2M_4}{(t_4 - t_2)} = \dfrac{M_2M_4}{2 \delta t}}$

  Justification :

  $\Longrightarrow$ $M_2$ et $M_3$ sont séparés par un intervalle de temps $\delta t$, ainsi que $M_3$ et $M_4$, donc $M_2$ et $M_4$ sont séparés de $2 \delta t$.

  $\Longrightarrow$ Si $M_2M_4 = 4 ~ \text{cm}$ alors on trouve une vitesse moyenne de :

  $v_{moy} = \dfrac{0,04}{0,2} = 0,2 ~ \text{m/s}$

  Remarque : il faut penser à convertir $M_2M_4$ en $\text{m}$ et $2 \delta t$ en $\text{s}$ bien évidemment.

  $\textcolor{purple}{\text{Étape 2}}$ : on trace le vecteur vitesse instantanée $\overrightarrow{v}_3$ du mobile en $M_3$ :

  $\Longrightarrow$ On prend pour valeur de la vitesse instantanée la vitesse moyenne calculée précédemment,

  $\Longrightarrow$ Puis on met la longueur du vecteur vitesse à l'échelle du graphique : si la vitesse vaut $0,2 ~ \text{m/s}$, la longueur du vecteur vaut $2 ~\text{cm}$ sur la figure (puisque l'échelle est : $1 ~ \text{cm} \leftrightarrow 0,1 ~ \text{m/s}$)

  $\Longrightarrow$ On trace enfin le vecteur $\overrightarrow{v}_3$ qui a pour origine $M_3$, qui est parallèle à $(M_2M_4)$ et dont la longueur a été calculée précédemment ($2 ~ \text{cm}$). Le sens du vecteur est le sens du mouvement, donc de $M_3$ vers $M_4$.

• Remarques :

  $\circ\quad$ En général, le vecteur vitesse ainsi obtenu n'est qu'une approximation de la vitesse instantanée, d'autant plus précise que $\delta t$ est petit.

  $\circ\quad$ Si le mouvement est rectiligne, $M_2$, $M_3$ et $M_4$ sont alignés et $\overrightarrow{v}_3$ a pour support la droite $(M_2M_4)$.

IV. Différents types de mouvement en cinématique

• La notion de vecteur vitesse permet de préciser certains types de mouvement :

  $\circ\quad$ Mouvement uniforme : le module de la vitesse est constant (par exemple $10~\text{m/s}$) mais la direction peut varier donc le vecteur vitesse peut varier (par exemple : mouvement circulaire uniforme) ;

  $\circ\quad$ Mouvement rectiligne : la direction de la vitesse est constante mais le module et le sens peuvent varier donc le vecteur vitesse peut varier (par exemple : mouvement rectiligne accéléré) ;

  $\circ\quad$ Mouvement rectiligne uniforme : le vecteur vitesse est constant, c'est-à-dire son module, sa direction et son sens sont constants.

• Remarque : parler de vitesse constante est ambigu : cela signifie le plus souvent que le mouvement est uniforme et donc que le module de la vitesse reste constant (par exemple 10 m/s) mais pas forcément le vecteur vitesse, qui lui peut changer de direction (par exemple, dans le cas d'une voiture effectuant un virage à "vitesse constante").

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}