Réciproque d'une fonction continue strictement monotone

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Introduction

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle admet une fonction réciproque.
Cette fonction réciproque est elle aussi continue et strictement monotone.
Leur représentation graphique révèle une symétrie remarquable.

I. Définition de la réciproque

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
La fonction $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ si :

$\circ$ Pour tout $x \in I$, on a : $f^{-1}(f(x)) = x$

$\circ$ Pour tout $y \in f(I)$, on a : $f(f^{-1}(y)) = y$

Autrement dit, $f^{-1}$ "annule" l'effet de $f$ et réciproquement.

II. Condition d'existence d'une fonction réciproque

Théorème :
Si $f$ est continue et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle $I$, alors :

$\circ$ $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $f(I)$

$\circ$ $f^{-1}$ est continue et strictement monotone

$\circ$ On dit que $f$ est bijective de $I$ vers $f(I)$

III. Propriétés de la fonction réciproque

$\circ$ Si $f$ est strictement croissante, alors $f^{-1}$ l’est aussi.

$\circ$ Si $f$ est strictement décroissante, alors $f^{-1}$ l’est aussi.

$\circ$ L'ensemble de définition de $f^{-1}$ est $f(I)$ ; son image est $I$.

IV. Représentation graphique

Les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.

V. Exemples

Exemple 1 :

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, +\infty[$.
Sa réciproque est $f^{-1}(x) = x^2$ sur $[0, +\infty[$.

Ces deux fonctions sont également strictement croissantes et continues, et symétriques l’une de l’autre par rapport à la droite $y = x$.

Exemple 2 : (à voir quand vous aurez étudié ces deux fonctions en cours d'année)

Prenons $f(x) = \ln(x)$ sur $I = ]0, +\infty[$.
Sa réciproque est $f^{-1}(x) = e^x$ sur $f(I) = \mathbb{R}$.

Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.

Applications concrètes

En physique ou en économie, on inverse souvent une relation : par exemple, température en fonction du temps $T(t)$ et réciproquement $t = T^{-1}(T)$.

Conclusion

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle admet une fonction réciproque.
Celle-ci est elle aussi continue et strictement monotone, de même sens.
Graphiquement, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.