Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Ou encore le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones et très souvent appelé le théorème de la bijection.

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I. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a ; b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a ; b]$.

Remarque :
$\circ\quad$ On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.

Exemple :

Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2 ; 0]$.

On sait que la fonction continue $g$ admet le tableau de variations suivant :

La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.
D’après le tableau de variations :
Sur $[-2; 0]$, la fonction $g$ est continue, strictement croissante, et $0 \in [-6 ; 8]$.

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $\alpha \in [-2 ; 0]$ telle que $g(\alpha) = 0$.

Remarque :
Dans le cas $\lambda=0$, on vérifie $f(a)f(b)<0$.

II. Exemple

Montrer que l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet une solution sur l'intervalle $[1;2]$.
L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ est équivalente à $\dfrac{2x+3}{x+1}-x^2=0$.
On pose $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f : x \mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}-x^2$.
L'équation en question s'écrit : $f(x)=0$.

Le domaine de définition de $f$ est :

$\mathcal{D}_f = x \in \mathbb{R}$ tel que : $x+1 \neq 0$ soit :

$\mathcal{D}_f = { x \in \mathbb{R} \text{ tel que } x \neq -1 }$

$\mathcal{D}_f = ]-\infty; -1[ \cup ]-1; +\infty[$

Or $[1;2]\subset]-1;+\infty[$.

Donc $f$ est définie et continue sur $[1;2]$ comme somme des deux fonctions $x\mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}$ et $x\mapsto -x^2$, continues sur $[1;2]$.
De plus : $f(1)=\dfrac{5}{2}-1=\dfrac{3}{2} \text{ et } f(2)= \dfrac{7}{3}-4=-\dfrac{5}{3}$.
Alors : $f(1)f(2)\lt 0$.

Et on conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[1;2]$.
Donc : l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet une solution sur l'intervalle $[1;2]$.

III. Méthode d'encadrement

Parmi les méthodes pour déterminer un encadrement de la solution d’une équation du type $f(x) = k$, il en existe deux simples : la méthode par balayage et la méthode de dichotomie.

Encadrement d’une solution par dichotomie :
Le principe est de déterminer successivement l’intervalle dans lequel se situe la solution $\alpha$ en divisant par deux l’intervalle à chaque étape.

Pour cela, on calcule le milieu $m$ de l’intervalle $[a ; b]$ :

$m = \dfrac{a + b}{2}$

Puis, on regarde si la solution $\alpha$ se trouve dans $[a ; m]$ ou bien dans $[m ; b]$.

$\circ\quad$ Si la solution est dans $[a ; m]$, on réitère le procédé dans $[a ; m]$.
$\circ\quad$ Si la solution est dans $[m ; b]$, on réitère le procédé dans $[m ; b]$.

_{Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.}