Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

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Ou encore le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :
Si ff est continue et strictement monotone sur [a;b][a ; b], alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x) = k admet une unique solution dans [a;b][a ; b].

Remarque :
\circ\quad On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.

Exemple :

Montrer que l’équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution sur [2;0][-2 ; 0].

On sait que la fonction continue gg admet le tableau de variations suivant :

picture-in-text

La fonction gg est continue sur R\mathbb{R}.
D’après le tableau de variations :
Sur [2;0][-2; 0], la fonction gg est continue, strictement croissante, et 0[6;8]0 \in [-6 ; 8].

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α[2;0]\alpha \in [-2 ; 0] telle que g(α)=0g(\alpha) = 0.

Remarque :
Dans le cas λ=0\lambda=0, on vérifie f(a)f(b)<0.

Exemple : Montrer que l'équation 2x+3x+1=x2\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2 admet une solution sur l'intervalle [1;2][1;2].
L'équation 2x+3x+1=x2\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2 est équivalente à 2x+3x+1x2=0\dfrac{2x+3}{x+1}-x^2=0.
On pose ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f:x2x+3x+1x2f : x \mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}-x^2.
L'équation en question s'écrit : f(x)=0f(x)=0.

Le domaine de définition de ff est :

Df=xR tel que x+10=xR tel que x1=];1[]1;+[\mathcal{D}_f = { x \in \mathbb{R} \text{ tel que } x+1 \neq 0 } = { x \in \mathbb{R} \text{ tel que } x \neq -1 } = ]-\infty; -1[ \cup ]-1; +\infty[

Or [1;2]]1;+[[1;2]\subset]-1;+\infty[.

Donc ff est définie et continue sur [1;2][1;2] comme somme des deux fonctions x2x+3x+1x\mapsto \dfrac{2x+3}{x+1} et xx2x\mapsto -x^2, continues sur [1;2][1;2].
De plus : f(1)=521=32 et f(2)=734=53f(1)=\dfrac{5}{2}-1=\dfrac{3}{2} \text{ et } f(2)= \dfrac{7}{3}-4=-\dfrac{5}{3}.
Alors : f(1)f(2)<0.

Et on conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet au moins une solution sur [1;2][1;2].
Donc : l'équation 2x+3x+1=x2\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2 admet une solution sur l'intervalle [1;2][1;2].

Méthode d'encadrement

Parmi les méthodes pour déterminer un encadrement de la solution d’une équation du type f(x)=kf(x) = k, il en existe deux simples : la méthode par balayage et la méthode de dichotomie.

Encadrement d’une solution par dichotomie :
Le principe est de déterminer successivement l’intervalle dans lequel se situe la solution α\alpha en divisant par deux l’intervalle à chaque étape.

Pour cela, on calcule le milieu mm de l’intervalle [a;b][a ; b] :

m=a+b2m = \dfrac{a + b}{2}

Puis, on regarde si la solution α\alpha se trouve dans [a;m][a ; m] ou bien dans [m;b][m ; b].

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\circ\quad Si la solution est dans [a;m][a ; m], on réitère le procédé dans [a;m][a ; m].
\circ\quad Si la solution est dans [m;b][m ; b], on réitère le procédé dans [m;b][m ; b].

Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.