Ou encore le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :
Si est continue et strictement monotone sur , alors, pour tout réel compris entre et , l’équation admet une unique solution dans .
Remarque :
On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.
Exemple :
Montrer que l’équation admet une unique solution sur .
On sait que la fonction continue admet le tableau de variations suivant :
La fonction est continue sur .
D’après le tableau de variations :
Sur , la fonction est continue, strictement croissante, et .
Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution telle que .
Remarque :
Dans le cas , on vérifie f(a)f(b)<0.
Exemple : Montrer que l'équation admet une solution sur l'intervalle .
L'équation est équivalente à .
On pose la fonction définie sur par : .
L'équation en question s'écrit : .
Le domaine de définition de est :
Or .
Donc est définie et continue sur comme somme des deux fonctions et , continues sur .
De plus : .
Alors : f(1)f(2)<0.
Et on conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation admet au moins une solution sur .
Donc : l'équation admet une solution sur l'intervalle .
Méthode d'encadrement
Parmi les méthodes pour déterminer un encadrement de la solution d’une équation du type , il en existe deux simples : la méthode par balayage et la méthode de dichotomie.
Encadrement d’une solution par dichotomie :
Le principe est de déterminer successivement l’intervalle dans lequel se situe la solution en divisant par deux l’intervalle à chaque étape.
Pour cela, on calcule le milieu de l’intervalle :
Puis, on regarde si la solution se trouve dans ou bien dans .
Si la solution est dans , on réitère le procédé dans .
Si la solution est dans , on réitère le procédé dans .
Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.