Les fonctions polynômes de degré 3

I. Formes usuelles de fonctions polynômes de degré 3

1. Fonction de la forme $x \mapsto ax^3$

Cette fonction est appelée fonction cube. Sa forme est très simple :

• Si $a > 0$, la courbe est croissante, passant par l’origine avec une forme en « S ».

• Si $a < 0$, la courbe est décroissante, en miroir de l’autre côté.

Exemple :
$f(x) = 2x^3$ : la courbe passe par l’origine, est croissante et "très raide" pour $x$ grand.
$g(x) = -x^3$ : la courbe passe par l’origine et décroît.

2. Fonction de la forme $x \mapsto ax^3 + b$

Il s’agit d’un déplacement vertical de la fonction $ax^3$.

• Le terme $b$ déplace la courbe de $b$ unités vers le haut (si $b > 0$) ou vers le bas (si $b < 0$).

• Le point d’inflexion de la courbe (là où elle change de concavité) est déplacé de l’origine à $(0, b)$.

Exemple :

$h(x) = x^3 + 4$ est la même que $x^3$, mais la courbe est décalée de 4 unités vers le haut.
$k(x) = -2x^3 - 1$ est la courbe de $-2x^3$, compressée verticalement et abaissée d'une unité.

II. Racines et signe d’un polynôme de degré 3 sous forme factorisée

Considérons une fonction polynôme de degré 3 sous la forme :
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$

• Les racines de $f$ sont les valeurs $x_1$, $x_2$, et $x_3$ telles que $f(x) = 0$.

• Le signe de $f(x)$ dépend de :

  • Le signe de $a$

  • La position de $x$ par rapport aux racines

  • Le nombre de facteurs négatifs dans $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$

Les changements de signe ont lieu aux racines.

Exemple :
$f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$
Les racines sont $x = 1$, $x = 2$ et $x = 3$
Étude du signe (en ordonnant les racines) à l'aide d'un tableau de signes :

• $x < 1$ : trois facteurs négatifs → $f(x) < 0$

• $1 < x < 2$ : deux facteurs positifs, un négatif → $f(x) > 0$

• $2 < x < 3$ : un seul facteur positif → $f(x) < 0$

• $x > 3$ : tous les facteurs positifs → $f(x) > 0$

III. Résolution de l’équation $x^3 = c\,,c\in \mathbb R$

Définition de la racine cubique :

Cette équation admet une unique solution réelle : la racine cubique de $c$.

On note cette solution :

• $\sqrt[3]{c}$ ou bien

• $c^{1/3}$

Contrairement aux racines carrées, la racine cubique d’un nombre négatif est négative. Elle est bien définie pour tout réel $c$.

Exemples :

• $x^3 = 8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2$

• $x^3 = -27 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-27} = -3$