Pythagore et Thalès

Deux grands théorèmes ont été vus au collège.
Nous allons ici distinguer théorème direct, réciproque et contraposée.

I. Pythagore

Théorème de Pythagore

On considère un triangle ABC rectangle en A. On a alors :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Ce théorème permet donc de calculer la longueur d'un côté d'un triangle quand on connaît les longueurs des deux autres côtés.

Contraposée du théorème de Pythagore

On considère un triangle ABC dont le plus grand côté est [BC]. Si $BC^2 \ne AB^2 + AC^2$ alors le triangle ABC n'est pas rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC on a l'égalité $BC^2 = AB^2 + AC^2$ alors le triangle est rectangle en A.

II. Thalès

Théorème de Thalès

On considère deux droites (BB') et (CC') sécantes en A. Si (BC) et (B'C') sont parallèles alors on a :
$\frac{AB}{AB'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{BC}{B'C'}$

Ce théorème permet donc de calculer un rapport de longueur ou des longueurs lorsqu'une droite est parallèle à un côté du triangle. Il existe deux configurations pour ce théorème.

Tout comme pour le théorème de Pythagore, il existe une contraposée et une réciproque à ce théorème.

Contraposée du théorème de Thalès

On considère deux droites (BB') et (CC') sécantes en A. Si $\frac{AB}{AB'} \ne \frac{AC}{AC'}$ alors les droites (BC) et (B'C') ne sont pas parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès

On considère deux droites (BB') et (CC') sécantes en A avec A,B',B d'une part et A,C',C d'autre part, rangés dans le même ordre.
Si $\frac{AB}{AB'} = \frac{AC}{AC'}$ alors les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.

Un cas particulier est le théorème des milieux (vu en 4e)

Théorème des milieux

Dans un triangle ABC, on considère les points B' et C' appartenant respectivement à [AB] et [AC].

1. Si B' et C' sont les milieux de ces deux côtés alors (B'C') et (BC) sont parallèles.

2. Si B' est le milieu de [AB] et (B'C') est parallèle à (BC) alors C' est le milieu de [AC].