Calcul d'aires et intégrale d'une fonction négative

I. Intégrale d'une fonction continue négative

Définition : Intégrale d'une fonction continue négative

Soit $f$ une fonction continue et négative sur l'intervalle $[a,b]$. On appelle l'intégrale de la fonction $f$ de $a$ à $b$ et on note $\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x$ l'opposé de l'aire $\mathcal{A}$ délimitée par la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a \text{ et } x=b$ en unité d'aire $U.A$ (appelée aussi l'aire algébrique). $\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}$

Exemple : Prenons l'exemple de la fonction linéaire $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x$, notons $\mathcal{A}$ l'aire hachurée.

$\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}= -\dfrac{2OI\times 2OJ}{2}=-2 U.A$

II. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$. On appelle l'intégrale de la fonction $f$ de $a$ à $b$ et on note $\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x$ la somme des aires algébriques délimitées par la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites définissants les sous-intervalles dans lesquels la fonction est de signe constante.

Autrement dit, $\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x$ est égale à la différence entre : La somme des aires délimitées par la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses quand $f$ est positive. Et la somme des aires délimitées par la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses lorsque $f$ est négative.

Illustration graphique :

$\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_3$

Exemple : La fonction linéaire $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=2x$. Trouver $\displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x$

On remarque que : Sur l'intervalle $[-3;0]$, la fonction f est négative et la partie de l'intégrale demandée sur cet intervalle notée $\mathcal{A}_1$ se trouve en dessous de l'axe des abscisses, elle est donc négative. Sur l'intervalle $[0;2]$, la fonction f est positive et la partie de l'intégrale demandée sur cet intervalle notée $\mathcal {A}_2$ se trouve en dessus de l'axe des abscisses, elle est donc positive.

$\displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2$

$\phantom{\displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x}=-\dfrac{3\times (2\times 3)}{2}+\dfrac{2\times (2\times 2)}{2}$

$\phantom{\displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x}=-9+4$

$\phantom{\displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x}=-5 U.A$

III. Aire entre deux courbes

Soit $f$et $g$ deux fonctions continues sur $[a\,;b]$ tel que$f\ge g$ .

Alors l’aire du domaine délimité par les droites d’équations $x=a$et $x=b$ et les

courbes $C_f$et $C_g$ est égal à : $\displaystyle\int_a^b(f(x)-g(x))\text dx$.

Remarque : Si $f-g$ n’est pas de signe constant sur $[a\,;b]$, on partage$[a\,;b]$ en

intervalles sur lesquels $f-g$ a un signe constant.

Exemple :

Soit $f$et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb R$ par : $f(x)=x^2-x$ et $g(x)=3x-x^2$

Après avoir étudié la position relative des deux courbes et leurs intersections, on obtient :

$\mathcal A=\displaystyle\int_0^2 g(x)-f(x)\text dx=\displaystyle\int_0^2 4x-2x^2\text dx$

$\mathcal A=\left[2x^2-\dfrac 23 x^3\right]_0^2=\dfrac 83 \text{ u.a}$