Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

Historiquement, la fonction ln a été inventée pour simplifier les calculs, car elle permet de convertir les multiplications, longues à effectuer et souvent sources d’erreurs, en de simples additions.

I) Propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tout entier n, on a :

 ln(ab) = ln(a) + ln(b)

 $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln \left(a\right)$

 $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)$

 ln(aⁿ) = nln(a)

Conséquence : Pour tout réel strictement positif a, on a :

_{$\ln \left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2}\ln \left(a\right)$}

II) Équations et inéquations

Pour tous réels a et b strictement positifs, on a :

ln(a) = ln(b) ⇔ a = b

ln(a) < ln(b) ⇔ a < b

Exemple : ln(3x) = ln6 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.

Conséquence : Pour tout réel m et tout réel strictement positif x, on a :

ln(x) = m ⇔ x = e^m

ln(x) < m ⇔ x < e^m

En particulier : ln(a) < 0 ⇔ 0 < a < 1.

Exemple : ln(1 + x) = 4 ⇔ 1 + x = e⁴ ⇔ x = e⁴ − 1.

Remarque : Si q et a sont des réels strictement positifs et si n est un entier naturel, alors qⁿ > a ⇔ nln(q) > ln(a).

À noter

Cette remarque permet de déterminer un seuil dans l’étude d’une suite géométrique.

Méthodes

1) Simplifier ou transformer une expression

On pose $A=\frac{\ln 12-3\ln 2}{2\ln 3-\ln 6}$ et B = e^− ln 2 + ln(e^− 2).

Montrer que A est un entier et que B est un rationnel.

Conseils

Pour simplifier A, utilisez la propriété sur le logarithme d’un produit.

Pour simplifier B, utilisez la définition du logarithme.

Solution

$A=\frac{\ln \left(3\times 2^2\right)-3\ln 2}{2\ln 3-\ln \left(3\times 2\right)}=\frac{\ln 3+2\ln 2-3\ln 2}{2\ln 3-\left(\ln 3+\ln 2\right)}=\frac{\ln 3-\ln 2}{\ln 3-\ln 2}=1.$

$B=\frac{1}{e^{\ln 2}}+\ln \left(e^{-2}\right)=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}.$ Donc B est rationnel.

2)  Résoudre une inéquation

On considère la suite géométrique de terme général $u_n=\frac{1}{2^n}$.

Déterminer à partir de quel rang n on a u_n ≤ 10^− 5.

Conseils

Modifiez la condition u_n ≤ 10^-5 en prenant le logarithme népérien de chaque membre, pour faire passer l’inconnue n d’exposant à coefficient.

Solution

Pour tout n ∈ ℕ, u_n > 0. On peut donc utiliser la croissance de la fonction ln puisque les deux membres de l’inégalité sont positifs. On obtient :

Donc u_n ≤ 10^-5 à partir du rang n = 17.

À noter

Attention aux signes dans les résolutions d’inéquations !