Définition et propriétés analytiques de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

I) Définition et notations

Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par :

pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[, ln x = y ⇔ x = e^y

Conséquences :

 Pour tout réel x strictement positif, e^ln x = x.

 Pour tout réel y, ln(e^y) = y.

On a en particulier : 

ln 1 = 0

 et 

ln e = 1.

Définition : Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I, on définit la fonction ln u par :

pour tout x ∈ I, (ln u)(x) = ln(u(x))

II) Propriétés analytiques

La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[, et pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ :

$l{n}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}$

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$.

Pour toute fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction ln u et dérivable sur I, et on a :

${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$

III) Tableau de variations et courbe

À noter

Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Conseils

Étape 1 Déterminez l’ensemble de définition de f.

Étape 2 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.

Étape 3 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.

Étape 4 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

Étape 5 Dressez le tableau de variations de f.

Solution

Étape 1 La fonction ln est définie sur ]0 ; + ∞[. Or, pour tout réel x, e^-x > 0 donc 1 + e^-x > 0.

Donc f est définie sur ℝ.

Étape 2 f est dérivable sur ℝ car f est de la forme ln u avec u(x) = 1 + e^-x, strictement positive pour tout réel x et dérivable sur ℝ. Or ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ avec $u^{\prime }\left(x\right)=-e^{-x}$ pour tout x ∈ ℝ.

Donc pour tout réel x, $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}$.

Étape 3 La fonction exponentielle est strictement positive, d’où $\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}>0$ et $f^{\prime }\left(x\right)<0$ pour tout réel x.

Donc f est strictement décroissante sur ℝ.

Étape 4 On sait que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(e^{-x}\right)=\underset{X\to +\infty }{\lim }\left(e^X\right)=+\infty$, donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1+e^{-x}\right)=+\infty$. Or $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln X=+\infty$, donc, par composition, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

On sait que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(e^{-x}\right)=0$, donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+e^{-x}\right)=1$.

Or $\underset{X\to 1}{\lim }\ln X=\ln 1=0$ donc, par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

Étape 5