Projeté orthogonal d'un point sur une droite

I. Définition intuitive

Soit un point $M$ situé hors d'une droite $\Delta$ dans le plan.

Le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $\Delta$ est le point $H$ de la droite $\Delta$ tel que le segment $[MH]$ soit perpendiculaire à $\Delta$.

On dit aussi que $H$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $M$ sur $\Delta$.

II. Construction géométrique

Pour tracer le projeté orthogonal de $M$ sur une droite $\Delta$ :

• on trace une droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$ ;

• le point d’intersection $H$ entre cette perpendiculaire et $\Delta$ est le projeté orthogonal.

III. Propriété fondamentale

Théorème : Le projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur une droite $\Delta$ est le point de $\Delta$ le plus proche de $M$.

Démonstration :

Soit $P$ un point quelconque de $\Delta$, distinct de $H$. Le triangle $MPH$ est rectangle en $H$ car $MH \perp \Delta$.

D'après le théorème de Pythagore, on a :

$MP^2 = MH^2 + HP^2$

Donc $MP^2 > MH^2$ et donc $MP > MH$.

Cela est vrai pour tout point $P \ne H$ de $\Delta$, donc $H$ est le point de $\Delta$ le plus proche de $M$.

IV. Exemple d'application : un problème d'optimisation pas à pas

On donne un repère orthonormé du plan.

Soit le point $M(2 ; 3)$ et la droite $\Delta$ d’équation $x + y = 6$.

On cherche le point de $\Delta$ le plus proche de $M$, c’est-à-dire le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$.

1. Écriture des points de la droite

Sur la droite $\Delta$, on a $x + y = 6$, donc $y = 6 - x$

Tout point $P$ de la droite peut donc s’écrire $P(x ; 6 - x)$

2. Expression de la distance $MP(x)$

$MP(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + (6 - x - 3)^2}$
$MP(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + (3 - x)^2}$

On note $f(x) = (x - 2)^2 + (3 - x)^2$ (on étudiera cette fonction sans la racine pour simplifier)

3. Etude de la fonction $f(x)$

Développons :

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$
$(3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$

Donc :

$\small f(x) = x^2 - 4x + 4 + 9 - 6x + x^2 = 2x^2 - 10x + 13$

4. Conjecture graphique

$f$ est une fonction polynôme du second degré : sa courbe est une parabole orientée vers le haut.

En représentant sa courbe, on observe qu’elle atteint un minimum pour une valeur proche de $x = 2{,}5$.

5. Factorisation astucieuse

On cherche à factoriser $f(x) = 2x^2 - 10x + 13$

On commence par mettre 2 en facteur :
$f(x) = 2(x^2 - 5x + \dfrac{13}{2})$

On essaie de transformer ce trinôme grâce aux identités remarquables :

$x^2 - 5x + \dfrac{13}{2} = \left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{13}{2} - \dfrac{25}{4}$
$= \left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{12}{4} = (x - \dfrac{5}{2})^2 - 3$

Donc :

$f(x) = 2\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - 6$

Le minimum est donc atteint pour $x = \dfrac{5}{2}$

6. Coordonnées du point le plus proche

Si $x = \dfrac{5}{2}$, alors $y = 6 - \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{2}$

Le point $H\left(\dfrac{5}{2} ; \dfrac{7}{2}\right)$ est donc le point de la droite le plus proche de $M$

7. Conclusion

On a déterminé le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $\Delta$ sans utiliser les pentes ou les vecteurs, simplement en :

• traduisant le problème par une fonction $f(x)$ qui donne la distance au carré ;

• conjecturant graphiquement le minimum ;

• factorisant astucieusement pour le prouver.

V. Résumé

• Le projeté orthogonal d’un point $M$ sur une droite $\Delta$ est le point $H \in \Delta$ tel que $MH \perp \Delta$.

• Il correspond au point de la droite $\Delta$ le plus proche de $M$.

• Ce principe permet de résoudre des problèmes d’optimisation géométrique.