Identité fondamentale en trigonométrie

I. Rappel – Définition des rapports trigonométriques dans un triangle rectangle

Soit un triangle rectangle $ABC$ en $B$, avec un angle aigu $\widehat{A} = x$.

Par définition :

• $\cos x = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{AC}$

• $\sin x = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{BC}{AC}$

• $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{BC}{AB}$

II. Démonstration de l'identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

À partir du même triangle rectangle $ABC$ avec angle aigu $\widehat{A} = x$ :

• $\cos x = \dfrac{AB}{AC}$, donc $\cos^2 x = \left( \dfrac{AB}{AC} \right)^2$

• $\sin x = \dfrac{BC}{AC}$, donc $\sin^2 x = \left( \dfrac{BC}{AC} \right)^2$

Alors :

$\small \cos^2 x + \sin^2 x = \left( \dfrac{AB}{AC} \right)^2 + \left( \dfrac{BC}{AC} \right)^2 = \dfrac{AB^2 + BC^2}{AC^2}$

Or d’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle :

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

Donc :

$\cos^2 x + \sin^2 x = \dfrac{AC^2}{AC^2} = 1$

Conclusion

$\boxed{\text{Pour tout angle aigu } x\,; \cos^2 x + \sin^2 x = 1}$

Cette identité fondamentale est la base de nombreuses formules en trigonométrie. Elle est toujours démontrable à partir d’un triangle rectangle.

👉 Remarque

L’écriture $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ est une notation classique, mais elle signifie bien :

$(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$

III. Une application

Dans un triangle $DEF$ rectangle en $E$, on a $DE = 5$ cm, $EF = 12$ cm.

1. Quelle est la longueur $DF$ ?

2. Exprimer $\cos x$ et $\sin x$, où $x = \widehat{D}$

3. Vérifier que $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Solution :

1. Calcul de $DF$ avec le théorème de Pythagore

Dans le triangle rectangle $DEF$ :

$DF^2 = DE^2 + EF^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
Donc $DF = \sqrt{169} = 13$ cm

2. Calcul de $\cos x$ et $\sin x$ pour $x = \widehat{D}$

Dans ce triangle, l’angle $x = \widehat{D}$ est adjacent au côté $DE$ et opposé au côté $EF$.

• $\cos x = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{DE}{DF} = \dfrac{5}{13}$

• $\sin x = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{EF}{DF} = \dfrac{12}{13}$

3. Vérification de l’identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

• $\cos^2 x = \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = \dfrac{25}{169}$

• $\sin^2 x = \left(\dfrac{12}{13}\right)^2 = \dfrac{144}{169}$

Donc :

$\cos^2 x + \sin^2 x = \dfrac{25}{169} + \dfrac{144}{169} = \dfrac{169}{169} = 1$

L'identité vérifiée.