Pourcentages, échelles et taux

Ce fichier regroupe ce qui doit être bien maîtrisé des programmes des classes antérieures concernant : 

I. Pourcentages 

II. Augmentation ou diminution d'un pourcentage

III. Evolutions successives

IV. Echelles

V. Taux d'évolution

VI. Indice de base

I. Pourcentages

$145$ km, $60$ jours, $45$ litres, etc. représentent des grandeurs. 

$20\%$, $75\%$, etc. ne sont pas des grandeurs. Ces quantités n'ont pas d'unité. Le symbole $\%$ est une abréviation qui signifie pour cent. 

« $50\%$ de » représente « la moitié de » ; « $25\%$ de » représente « le quart de » ; « $75\%$ de » représente « les trois-quart de » ;

« $t\%$ de » signifie : si j'avais $100$ unités au départ, je prends $t$ unités.

Exemple : $50\%$ de $200$ vaut $100$ ; $30\%$ de $100$ vaut $30$.

Traduire le de dans cette expression mathématique :

On dit : le double de 5 vaut 10, le triple de 5 vaut 15, le quadruple de 5 vaut 20 et on écrit 

$2$ × $5=10$ ; $3$ × $5=15$ ; $4$ × $5=20$.

Quand on dit $30\%$ de $60$, cela s'écrit :

$30\%$ × $60=\dfrac{30}{100}$× $60=\dfrac{30\times 60}{100}=18$.

II. Augmentation ou diminution d'un pourcentage 

Exemple : Les tennis que j'ai vus affichés à $120$ euros sont soldées à $30\%$. Quel est leur nouveau prix ? 

1^re méthode : La baisse appliquée au prix est de $30\%$ de $120$ euros soit $\dfrac{30}{100}\times 120$ qui est égal à $36$ euros. Le nouveau prix est donc égal à : 

$120-36=84$ euros. 

2^de méthode : nouveau prix = ancien prix - baisse

mais :  baisse = pourcentage de l'ancien prix

d'où : nouveau prix = ancien prix - pourcentage de l'ancien prix

soit : $\text{nouveau prix }= 120 - \dfrac{30}{100} \times 120=84$ euros.

Méthode alternative pour ce dernier calcul : 

Soit N le nouveau prix, et A l'ancien prix. Le dernier calcul s'écrit : 

$N=A-\dfrac{30}{100} \times A$. Mettons $A$ en facteur.

$N=A\times \left(1-\dfrac{30}{100} \right)=A\times (1-0,3)=A\times 0,7$.

La baisse de $30\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{30}{100} =1-0,3=0,7$

D'autres tennis étaient affichés à 150 euros et bénéficient de la même réduction. Leur nouveau prix est donc : j'applique le coefficient multiplicateur de $0,7$.

Le nouveau prix est $150\times 0,7=105$ euros. 

Retenir :

A une augmentation de $t\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{t}{100}$.

A une diminution de $t\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{t}{100}$.

III. Evolutions successives

Lorsque plusieurs pourcentages d'augmentation ou de diminution doivent être appliqués successivement, il suffit d'utiliser les coefficients multiplicateurs correspondants.

« Multiplicateur » : on multiplie donc les différents coefficients entre-eux. 

Exemple : Une denrée alimentaire, suite à l'inflation, a augmenté de $6\%$. L'année suivante, cette même denrée a diminué de $4\%$. Au final, quelle est l'évolution du prix de cette denrée ? 

Une augmentation de $6\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{6}{100}=1,06$.

Une diminution de $4\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{4}{100}=0,96$.

Le coefficient multiplicateur des deux évolutions successives est : $1,06\times 0,96=1,0176$.

Ce coefficient est supérieur à 1. On a donc au final une augmentation de prix. Pour en connaître le pourcentage, on compare  $1,0176$ à $1$.

Pour comparer deux nombres on calcule leur différence : $1,0176-1=0,0176$ qui peut s'écrire $\dfrac{1,76}{100}$ ou encore $1,76\%$.

Conclusion : La denrée a augmenté au final de $1,76\%$.

IV. Echelles

Les longueurs sur une carte ou un dessin sont proportionnelles aux longueurs réelles. Le coefficient de proportionnalité est l'échelle $e$ : 

$e = \dfrac{\text{longueur sur le dessin}}{\text{longueur reelle}}$

Si $e$ > 1, le dessin est un agrandissement. Si $e$ < 1, le dessin est une réduction.

Exemple : Certaines cartes de randonnée ont une échelle notée qui est $1/25~000$. Sur la carte, la distance qui reste à parcourir est de $20$ cm. Quelle distance reste-t-il à parcourir à pieds ? 

La distance réelle est $25~000$ fois la distance lue sur la carte, soit :

$25~000\times 20=500~000$ cm ou encore $5~000$ m soit $5$ km. 

V. Taux d'évolution

« Taux d'évolution » est synonyme de pourcentage d'évolution. Il se calcule par rapport à la valeur d'origine. 

Exemple : Entre 2010 et 2020, une population est passée de $153~000$ habitants à $167~530$ habitants. Quel est le taux d'évolution noté $\tau$ (lettre grecque qui se lit tau) de la population entre ces deux dates ? 

$\tau = \dfrac{\text{final}-\text{initial}}{\text{initial}}=\dfrac{167~530-153~000}{153~000}$

${\phantom{\tau}=\dfrac{14~530}{153~000}\approx0,095}$ soit $9,5\%$.

Taux d'évolution moyen : 

On fait l'hypothèse que cette population a augmenté régulièrement au cours de ces $10$ années. On cherche le taux annuel qu'il faudrait appliquer à cette population pour obtenir au final le même taux (global) que celui calculé pour les $10$ années. 

On sait qu'appliquer une augmentation constante correspond à appliquer toujours le même coefficient multiplicateur. Cherchons dans un premier temps ce coefficient multiplicateur noté $CM$ annuel en sachant que le coefficient multiplicateur sur les dix ans est de $1+9,5\%$ soit $1,095$.

$\underbrace{CM\times CM\times \dots \times CM}_{10\text{ fois}}=1,095$ soit

$CM^{10}=1,095$. Pour trouver le nombre $CM$ qui mis à l'exposant $10$ vaut $1,095$, on tape sur la calculatrice : $1,095$ ^$\left(\dfrac{1}{10}\right)$ qui vaut environ $1,009$.

$1,009$ > $1$. Ce coefficient multiplicateur correspond à une augmentation de $1,009-1=0,009$ soit une augmentation moyenne de $0,9\%$ par an. 

Taux d'évolution réciproque

Exemple : Les tennis qui coûtaient $120$ euros coûtent $84$ euros après une baisse de $30\%$. Quel taux faudrait-il appliquer aux $84$ euros pour retrouver le prix initial de $120$ euros ? 

Le coefficient multiplicateur correspondant à la baisse de $30\%$ est $1-0,3=0,7$.

On peut écrire : $120\times 0,7=84$ ou encore $120=\dfrac{1}{0,7}\times 84$.

Le coefficient multiplicateur à appliquer pour trouver $120$ en partant de $84$ est donc $\dfrac{1}{0,7}$ soit environ $1,429$. 

$1,429$ > $1$ ; ce coefficient multiplicateur est celui d'une augmentation de $1,429-1=0,429$ soit $42,9\%$. 

Pour passer d'un prix de $84$ euros au prix de $120$ euros, l'augmentation à appliquer est donc de $42,9\%$. 

Le coefficient multiplicateur réciproque s'obtient en prenant l'inverse du coefficient multiplicateur direct. On en déduit ensuite le taux d'évolution réciproque. 

VI. Indice de base

Les indices de base permettent de comparer très rapidement des évolutions de quantités différentes. L'indice de base le plus utilisé est l'indice de base $100$.

Simplement : un indice de base 100 est le résultat d'un tableau de proportionnalité. 

La valeur $100$ correspond à la valeur prise pour référence.

\begin{array} {|c|cccc|}\hline {}&\text{valeur de référence}&|&\text{nouvelle valeur}\\ \hline \text{Valeurs}&x_0&|&x_n\\ \hline \text{Indices }&I_0=100&|&I_n\\ \hline \end{array}

On en déduit que : $x_0\times I_n=x_n\times I_0$ soit

$I_n=\dfrac{x_n}{x_0}\times I_0$.

Reprenons l'exemple précédent : Entre 2010 et 2020, une population est passée de $153~000$ habitants à $167~530$ habitants. En choisissant l'année 2010 comme référence pour l'indice 100, calculer l'indice correspondant à l'indice 2020. 

\begin{array} {|c|cccc|}\hline {}&\text{Année 2010}&|&\text{Année 2020}\\ \hline \text{Valeurs}&153~000&|&167~530\\ \hline \text{Indices }&100&|&I_{2020}\\ \hline \end{array}

$I_{2020}=\dfrac{167~530}{153~000}\times 100=109,5$

Remarque : lien entre taux d'évolution, coefficient multiplicateur et indice

Sur cet exemple, le taux d'évolution entre les années $2010$ et $2020$ est $9,5\%$, le coefficient multiplicateur est $1,095$, et l'indice de référence vaut $109,5$.