Equations, inéquations, tableau de signes et fonctions

Ce fichier regroupe ce qui doit être bien maîtrisé des programmes des classes antérieures concernant : 

I. Equations

II. Inéquations

III. Tableau de signes

IV. Fonctions (avec deux nouveautés : le logarithme et les fonctions sinusoïdales)

I. Equations

Résoudre une équation d'inconnue $x$ réelle, c'est en trouver toutes les solutions.

Règles autorisées :

• $a+x=b$ : Entre $a$ et $x$ j'ai une somme. Je retranche donc $a$ aux deux membres. $a+x-a=b-a$ soit $x=b-a$ seule solution.

• $ax=b$ avec $a\neq 0$ : Entre $a$ et $x$ j'ai un produit. Je divise donc les deux membres par $a$. Cela donne $\dfrac{ax}{a}=\dfrac{b}{a}$ soit $x=\dfrac{b}{a}$ seule solution.

Conseil : toujours bien repérer les opérations en jeu. 

Exemple : résoudre dans R l'équation d'inconnue $x\; : \; 3x+4=5x-3$

$\small \begin{aligned} 3x+4&=&5x-3&\\ 4&=&5x-3-3x &\quad \text{ je retranche }3x\text{ aux deux membres}\\ 4&=&2x-3&\quad \text{ je réduis }\\ 7&=&2x&\quad \text{ j'ajoute  } 3 \text{ aux deux membres }\\ \dfrac 72&=&x&\quad \text{ je divise par } 2 \text{ les deux membres }\end{aligned}$

La seule solution de cette équation est la valeur $\dfrac 72$.

Résolution graphique d'une équation du type $f(x)=g(x)$

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies toutes deux sur $[1\;;\;5]$ par $f(x)=-(x-1)^2$ et $g(x)=0,5\,x$ ; on désire résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$, ce qui revient à trouver $x$ qui a la même image par $f$ et par $g$. Il s'agit donc des abscisses du ou des points d'intersection entre les courbes représentatives.

On lit graphiquement que l'équation admet une seule solution qui est $x=4$.

Equation produit

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$.
Si $B = 0$ ou $A = 0$, alors $A \times B = 0$.

Mise en garde : bien vérifier le signe entre les facteurs, c'est-à-dire que l'on a réellement un produit ; vérifier également que ce produit est nul.

Exemple : Résoudre dans R l'équation $(1-x)(x+3)=0$.

On est bien dans une situation de produit nul.

$(1-x)(x+3)=0\Longleftrightarrow 1-x=0\text{ ou } x+3=0$

${\phantom{(1-x)(x+3)=0}\Longleftrightarrow 1=x\text{ ou } x=-3}$

Cette équation admet deux solutions $1$ et $-3$.

II. Inéquations

Règles autorisées : 

• On peut ajouter ou retrancher une même valeur aux deux membres d'une inégalité sans en changer le sens.

• On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement positif sans en changer le sens.

• Attention : On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif en changeant son sens.

Exemple : Soit à résoudre dans R l'inéquation $5x-4\le 7x+3$.

$\small \begin{aligned} 5x-4&\le&7x+3&\\ -4-3&\le&7x-5x &\quad \text{ j'ai ajouté}-5x-3\text{ aux deux membres}\\ -7&\le&2x&\quad \text{ j'ai réduit }\\ -\dfrac 72&\le&x&\quad \text{ j'ai divisé par  } 2 \text{ quantité strictement positive }\end{aligned}$

Le choix fait ici a été de regrouper les $x$ dans le membre où ils seraient précédés d'un coefficient positif (donc à droite), afin déviter de diviser par une quantité négative.

Si on lit en Français ce qui a été obtenu, on a « $-\dfrac 72$ doit être inférieur ou égal à $x$ », ce qui se dit également « $x$ doit être supérieur ou égal à  $-\dfrac 72$» ce qui donne sur une représentation de la droite des réels :

L'ensemble solution est l'intervalle $\left[-\dfrac 72\;;\;+\infty\right[$.

Signe d'une fonction

Il n'est pas rare que dans un exercice, il soit demandé d'étudier le signe d'une fonction, à ne pas confondre avec les variations de la fonction (variations : savoir si la fonction est croissante ou décroissante).

Soit $f$ une fonction dont on demande le signe. Le signe, c'est dire si $f(x) \ge 0$ ou si $f(x) \le 0$. 

Exemple : résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\le 0$ où la courbe $\mathcal C_f$ est la courbe représentative de $f$.

La solution de $f(x)\le 0$ est l'intervalle $[7,5\;;\;+\infty[$. La lecture des valeurs de $x$ se fait sur l'axe des abscisses. 

III. Tableau de signes

Il est courant d'avoir besoin de connaître le signe d'un produit ou d'un quotient. Une organisation en tableau de signes facilite le travail.

Exemple du signe d'un produit

Un calcul nous a amené à devoir étudier le signe de l'expression $A(x)=-5x^2+45$. On remarque qu'une factorisation par $-5$ peut être faite;

$A(x)=-5(x^2-9)$. On reconnaît dans la parenthèse une différence de deux carrés, que l'on peut factoriser. 

$A(x)=-5(x+3)(x-3)$ dont on va étudier le signe. Pour cela on étudie le signe de chacun de ses facteurs.

$-5$ est toujours négatif, je mets des signes $-$ sur toute la ligne.

$x+3\ge 0 \Longleftrightarrow x\ge -3$, je mets un signe $+$ à droite de la valeur $-3$ et le signe contraire à gauche.

$x-3\ge 0\Longleftrightarrow x\ge 3$, je mets un signe $+$ à droite de la valeur $3$ et le signe contraire à gauche.

La dernière ligne du tableau s'obtient en appliquant la règle des signes d'un produit dans chaque colonne.

Si une conclusion autre que le tableau est demandée, j'écris :

• $A(x)\ge 0$ pour $x\in [-3\;;\;3]$

• $A(x)\le 0$ pour $x\in ]-\infty\;;\;-3]\cup [3\;;\;+\infty[$

Exemple du signe d'un quotient

Le principe est le même, sauf qu'il est interdit de diviser par $0$, et que dans le tableau cela se note par une double barre verticale.

Soit $B(x)=\dfrac{-5(x-3)}{x+3}$ dont on veut étudier le signe. L'étude est la même, mais le tableau et la concusion changent. $-3$ est une valeur interdite pour le quotient.

Si une conclusion autre que le tableau est demandée, j'écris :

• $B(x)\ge 0$ pour $x\in ]-3\;;\;3]$

• $B(x)\le 0$ pour $x\in ]-\infty\;;\;-3[\cup [3\;;\;+\infty[$

$-3$ étant une valeur interdite pour le quotient (la double barre a été positionée sous $-3$ au niveau du quotient), les crochets sont ouverts en $-3$.

Signe d'un produit (sans tableau de signes)

Soit à étudier le signe de $A(x)=-5(x+3)(x-3)$. Si je développais, ce que je ne fais pas, je trouverais un polynôme en $x^2$ précédé du coefficient $-5$. 

$A(x)$ est donc un polynôme du second degré, et la représentation graphique de la fonction $A$ est une parabole dont les branches sont tournées vers le bas. De plus, je sais que ce polynôme s'annule pour $-3$ et $3$, donc on peut tracer rapidement l'allure de la courbe et connaître immédiatement le signe du produit proposé. (N'est valable que pour des polynômes de degré 2).

IV. Fonctions 

Soit $\mathcal{D}$, un ensemble de nombres réels.
Définir une fonction $f$ sur l'ensemble $\mathcal{D}_{f}$, c'est associer à chaque réel $x$ de $\mathcal{D}_{f}$ un unique réel $y$.

On note : 

•  $\mathcal{D}_{f}$ est l'ensemble de définition de la fonction $f$

•  $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$

• $y = f(x)$ est l'unique image de $x$ par la fonction $f$.

Représentation graphique dans un repère du plan

La courbe représentative de la fonction $f$ est l'ensemble des points $\text{M} (x~;~y)$ tel que :

• L'abscisse $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$ ;

• L'ordonnée $y$ est l'image de $x$ par $f~:~ y = f(x)$.

Bon à connaître : les échelles logarithmiques (non étudié dans les classes antérieures)

Une échelle logarithmique est une échelle qui utilise des puissances de 10. Dans un graphique normal, les graduations sont régulières (par exemple 1cm =1 unité), mais dans un graphique à échelle logarithmique, elles ne le sont pas, (le premier cm =10 unités, le 2ème =100, le 3ème =1000 etc).

Voici un exemple de relevé de données dans un fichier tableur, pour lequel on ne voit pas l'évolution dans un repère orthonormé, évolution qui apparaît très nettement avec une échelle logarithmique.

Pour le son, on préfère souvent une échelle logarithmique car elle reflète mieux la perception humaine des fréquences sonores. 

Dans ce domaine du son, on utilise régulièrement le logarithme (touche log de la calculatrice), ainsi que les fonctions trigonométriques (les sinusoïdes, avec les fonctions sin et cos de la calculatrice)

Exemple de sinusoïde :